Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32611 / 22751
↖ ↑ ↗
← N 48.111099°
W  0.862427°		 ← 407.86 m → N 48.111099°
W  0.856933°		 →
↑
407.87 m
↓
↑
407.87 m
↓
N 48.107431°
W  0.862427°		 ← 407.89 m →
166 360 m²		 N 48.107431°
W  0.856933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497611999511719 y=0.347160339355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497611999511719 × 216)
    floor (0.497611999511719 × 65536)
    floor (32611.5)     		tx = 32611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347160339355469 × 216)
    floor (0.347160339355469 × 65536)
    floor (22751.5)     		ty = 22751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32611 / 22751 ti = "16/32611/22751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32611/22751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32611 ÷ 216
    32611 ÷ 65536     		x = 0.497604370117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22751 ÷ 216
    22751 ÷ 65536     		y = 0.347152709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497604370117188 × 2 - 1) × π
    -0.004791259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01505219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347152709960938 × 2 - 1) × π
    0.305694580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.960367846988205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01505219} λ = -0.01505219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.960367846988205))-π/2
    2×atan(2.6126573548228)-π/2
    2×1.20524670589812-π/2
    2.41049341179625-1.57079632675     		φ = 0.83969709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01505219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.862427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83969709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.111099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32611 KachelY 22751 -0.01505219 0.83969709 -0.862427 48.111099
    Oben rechts KachelX + 1 32612 KachelY 22751 -0.01495631 0.83969709 -0.856933 48.111099
    Unten links KachelX 32611 KachelY + 1 22752 -0.01505219 0.83963307 -0.862427 48.107431
    Unten rechts KachelX + 1 32612 KachelY + 1 22752 -0.01495631 0.83963307 -0.856933 48.107431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83969709-0.83963307) × R
    6.40200000000535e-05 × 6371000     		dl = 407.871420000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83969709-0.83963307) × R
    6.40200000000535e-05 × 6371000     		dr = 407.871420000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01505219--0.01495631) × cos(0.83969709) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.667688355063981 × 6371000     		do = 407.858419869597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01505219--0.01495631) × cos(0.83963307) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.667736012802383 × 6371000     		du = 407.887531669633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83969709)-sin(0.83963307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667688355063981-0.667736012802383)×R²
    abs(-0.01495631--0.01505219)×4.7657738402429e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.7657738402429e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.7657738402429e-05×40589641000000     		ar = 166359.729863814m²