Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32610 / 22870
↖ ↑ ↗
← N 47.672785°
W  0.867920°		 ← 411.28 m → N 47.672785°
W  0.862427°		 →
↑
411.31 m
↓
↑
411.31 m
↓
N 47.669086°
W  0.867920°		 ← 411.31 m →
169 171 m²		 N 47.669086°
W  0.862427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497596740722656 y=0.348976135253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497596740722656 × 216)
    floor (0.497596740722656 × 65536)
    floor (32610.5)     		tx = 32610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348976135253906 × 216)
    floor (0.348976135253906 × 65536)
    floor (22870.5)     		ty = 22870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32610 / 22870 ti = "16/32610/22870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32610/22870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32610 ÷ 216
    32610 ÷ 65536     		x = 0.497589111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22870 ÷ 216
    22870 ÷ 65536     		y = 0.348968505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497589111328125 × 2 - 1) × π
    -0.00482177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01514806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348968505859375 × 2 - 1) × π
    0.30206298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.948958864878632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01514806} λ = -0.01514806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.948958864878632))-π/2
    2×atan(2.58301898709559)-π/2
    2×1.20142170020816-π/2
    2.40284340041633-1.57079632675     		φ = 0.83204707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01514806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.867920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83204707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.672785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32610 KachelY 22870 -0.01514806 0.83204707 -0.867920 47.672785
    Oben rechts KachelX + 1 32611 KachelY 22870 -0.01505219 0.83204707 -0.862427 47.672785
    Unten links KachelX 32610 KachelY + 1 22871 -0.01514806 0.83198251 -0.867920 47.669086
    Unten rechts KachelX + 1 32611 KachelY + 1 22871 -0.01505219 0.83198251 -0.862427 47.669086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83204707-0.83198251) × R
    6.45599999999913e-05 × 6371000     		dl = 411.311759999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83204707-0.83198251) × R
    6.45599999999913e-05 × 6371000     		dr = 411.311759999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01514806--0.01505219) × cos(0.83204707) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.673363749922981 × 6371000     		do = 411.282343214294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01514806--0.01505219) × cos(0.83198251) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.673411478459894 × 6371000     		du = 411.31149522092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83204707)-sin(0.83198251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673363749922981-0.673411478459894)×R²
    abs(-0.01505219--0.01514806)×4.77285369131497e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.77285369131497e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.77285369131497e-05×40589641000000     		ar = 169171.259784747m²