Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32609 / 22818
↖ ↑ ↗
← N 47.864774°
W  0.873413°		 ← 409.77 m → N 47.864774°
W  0.867920°		 →
↑
409.78 m
↓
↑
409.78 m
↓
N 47.861089°
W  0.873413°		 ← 409.80 m →
167 921 m²		 N 47.861089°
W  0.867920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497581481933594 y=0.348182678222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497581481933594 × 216)
    floor (0.497581481933594 × 65536)
    floor (32609.5)     		tx = 32609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348182678222656 × 216)
    floor (0.348182678222656 × 65536)
    floor (22818.5)     		ty = 22818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32609 / 22818 ti = "16/32609/22818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32609/22818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32609 ÷ 216
    32609 ÷ 65536     		x = 0.497573852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22818 ÷ 216
    22818 ÷ 65536     		y = 0.348175048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497573852539062 × 2 - 1) × π
    -0.004852294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01524393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348175048828125 × 2 - 1) × π
    0.30364990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.953944302439117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01524393} λ = -0.01524393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.953944302439117))-π/2
    2×atan(2.59592862031987)-π/2
    2×1.203097114014-π/2
    2.40619422802801-1.57079632675     		φ = 0.83539790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01524393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.873413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83539790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.864774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32609 KachelY 22818 -0.01524393 0.83539790 -0.873413 47.864774
    Oben rechts KachelX + 1 32610 KachelY 22818 -0.01514806 0.83539790 -0.867920 47.864774
    Unten links KachelX 32609 KachelY + 1 22819 -0.01524393 0.83533358 -0.873413 47.861089
    Unten rechts KachelX + 1 32610 KachelY + 1 22819 -0.01514806 0.83533358 -0.867920 47.861089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83539790-0.83533358) × R
    6.43200000000066e-05 × 6371000     		dl = 409.782720000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83539790-0.83533358) × R
    6.43200000000066e-05 × 6371000     		dr = 409.782720000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01524393--0.01514806) × cos(0.83539790) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.670882667653705 × 6371000     		do = 409.766928507856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01524393--0.01514806) × cos(0.83533358) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.670930363631191 × 6371000     		du = 409.796060627583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83539790)-sin(0.83533358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670882667653705-0.670930363631191)×R²
    abs(-0.01514806--0.01524393)×4.76959774868835e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.76959774868835e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.76959774868835e-05×40589641000000     		ar = 167921.37550744m²