Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32607 / 22880
↖ ↑ ↗
← N 47.635784°
W  0.884399°		 ← 411.57 m → N 47.635784°
W  0.878906°		 →
↑
411.63 m
↓
↑
411.63 m
↓
N 47.632082°
W  0.884399°		 ← 411.60 m →
169 422 m²		 N 47.632082°
W  0.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497550964355469 y=0.349128723144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497550964355469 × 216)
    floor (0.497550964355469 × 65536)
    floor (32607.5)     		tx = 32607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349128723144531 × 216)
    floor (0.349128723144531 × 65536)
    floor (22880.5)     		ty = 22880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32607 / 22880 ti = "16/32607/22880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32607/22880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32607 ÷ 216
    32607 ÷ 65536     		x = 0.497543334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22880 ÷ 216
    22880 ÷ 65536     		y = 0.34912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497543334960938 × 2 - 1) × π
    -0.004913330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01543568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34912109375 × 2 - 1) × π
    0.3017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.94800012688623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01543568} λ = -0.01543568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.94800012688623))-π/2
    2×atan(2.58054373540609)-π/2
    2×1.20109879610236-π/2
    2.40219759220472-1.57079632675     		φ = 0.83140127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01543568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.884399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83140127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.635784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32607 KachelY 22880 -0.01543568 0.83140127 -0.884399 47.635784
    Oben rechts KachelX + 1 32608 KachelY 22880 -0.01533981 0.83140127 -0.878906 47.635784
    Unten links KachelX 32607 KachelY + 1 22881 -0.01543568 0.83133666 -0.884399 47.632082
    Unten rechts KachelX + 1 32608 KachelY + 1 22881 -0.01533981 0.83133666 -0.878906 47.632082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83140127-0.83133666) × R
    6.46100000000205e-05 × 6371000     		dl = 411.630310000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83140127-0.83133666) × R
    6.46100000000205e-05 × 6371000     		dr = 411.630310000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01543568--0.01533981) × cos(0.83140127) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.673841056738662 × 6371000     		do = 411.573876379849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01543568--0.01533981) × cos(0.83133666) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.673888794131817 × 6371000     		du = 411.60303379576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83140127)-sin(0.83133666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673841056738662-0.673888794131817)×R²
    abs(-0.01533981--0.01543568)×4.77373931553338e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.77373931553338e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.77373931553338e-05×40589641000000     		ar = 169422.283419256m²