Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32607 / 22814
↖ ↑ ↗
← N 47.879513°
W  0.884399°		 ← 409.65 m → N 47.879513°
W  0.878906°		 →
↑
409.66 m
↓
↑
409.66 m
↓
N 47.875829°
W  0.884399°		 ← 409.68 m →
167 821 m²		 N 47.875829°
W  0.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497550964355469 y=0.348121643066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497550964355469 × 216)
    floor (0.497550964355469 × 65536)
    floor (32607.5)     		tx = 32607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348121643066406 × 216)
    floor (0.348121643066406 × 65536)
    floor (22814.5)     		ty = 22814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32607 / 22814 ti = "16/32607/22814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32607/22814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32607 ÷ 216
    32607 ÷ 65536     		x = 0.497543334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22814 ÷ 216
    22814 ÷ 65536     		y = 0.348114013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497543334960938 × 2 - 1) × π
    -0.004913330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01543568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348114013671875 × 2 - 1) × π
    0.30377197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.954327797636078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01543568} λ = -0.01543568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.954327797636078))-π/2
    2×atan(2.59692433739157)-π/2
    2×1.2032257358628-π/2
    2.4064514717256-1.57079632675     		φ = 0.83565514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01543568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.884399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83565514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.879513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32607 KachelY 22814 -0.01543568 0.83565514 -0.884399 47.879513
    Oben rechts KachelX + 1 32608 KachelY 22814 -0.01533981 0.83565514 -0.878906 47.879513
    Unten links KachelX 32607 KachelY + 1 22815 -0.01543568 0.83559084 -0.884399 47.875829
    Unten rechts KachelX + 1 32608 KachelY + 1 22815 -0.01533981 0.83559084 -0.878906 47.875829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83565514-0.83559084) × R
    6.43000000000171e-05 × 6371000     		dl = 409.655300000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83565514-0.83559084) × R
    6.43000000000171e-05 × 6371000     		dr = 409.655300000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01543568--0.01533981) × cos(0.83565514) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.670691885660339 × 6371000     		do = 409.650401199572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01543568--0.01533981) × cos(0.83559084) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.670739577902992 × 6371000     		du = 409.679531038108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83565514)-sin(0.83559084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670691885660339-0.670739577902992)×R²
    abs(-0.01533981--0.01543568)×4.76922426524418e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.76922426524418e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.76922426524418e-05×40589641000000     		ar = 167821.424652607m²