Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32606 / 22886
↖ ↑ ↗
← N 47.613570°
W  0.889893°		 ← 411.79 m → N 47.613570°
W  0.884399°		 →
↑
411.76 m
↓
↑
411.76 m
↓
N 47.609867°
W  0.889893°		 ← 411.82 m →
169 564 m²		 N 47.609867°
W  0.884399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497535705566406 y=0.349220275878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497535705566406 × 216)
    floor (0.497535705566406 × 65536)
    floor (32606.5)     		tx = 32606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349220275878906 × 216)
    floor (0.349220275878906 × 65536)
    floor (22886.5)     		ty = 22886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32606 / 22886 ti = "16/32606/22886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32606/22886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32606 ÷ 216
    32606 ÷ 65536     		x = 0.497528076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22886 ÷ 216
    22886 ÷ 65536     		y = 0.349212646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497528076171875 × 2 - 1) × π
    -0.00494384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01553156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349212646484375 × 2 - 1) × π
    0.30157470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.94742488409079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01553156} λ = -0.01553156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.94742488409079))-π/2
    2×atan(2.5790597230886)-π/2
    2×1.20090494380574-π/2
    2.40180988761147-1.57079632675     		φ = 0.83101356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01553156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.889893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83101356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.613570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32606 KachelY 22886 -0.01553156 0.83101356 -0.889893 47.613570
    Oben rechts KachelX + 1 32607 KachelY 22886 -0.01543568 0.83101356 -0.884399 47.613570
    Unten links KachelX 32606 KachelY + 1 22887 -0.01553156 0.83094893 -0.889893 47.609867
    Unten rechts KachelX + 1 32607 KachelY + 1 22887 -0.01543568 0.83094893 -0.884399 47.609867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83101356-0.83094893) × R
    6.463000000001e-05 × 6371000     		dl = 411.757730000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83101356-0.83094893) × R
    6.463000000001e-05 × 6371000     		dr = 411.757730000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01553156--0.01543568) × cos(0.83101356) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.674127475827613 × 6371000     		do = 411.79176631796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01553156--0.01543568) × cos(0.83094893) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.674175211108332 × 6371000     		du = 411.820925484835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83101356)-sin(0.83094893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674127475827613-0.674175211108332)×R²
    abs(-0.01543568--0.01553156)×4.77352807189968e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.77352807189968e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.77352807189968e-05×40589641000000     		ar = 169564.446246998m²