Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32606 / 22817
↖ ↑ ↗
← N 47.868459°
W  0.889893°		 ← 409.78 m → N 47.868459°
W  0.884399°		 →
↑
409.78 m
↓
↑
409.78 m
↓
N 47.864774°
W  0.889893°		 ← 409.81 m →
167 927 m²		 N 47.864774°
W  0.884399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497535705566406 y=0.348167419433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497535705566406 × 216)
    floor (0.497535705566406 × 65536)
    floor (32606.5)     		tx = 32606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348167419433594 × 216)
    floor (0.348167419433594 × 65536)
    floor (22817.5)     		ty = 22817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32606 / 22817 ti = "16/32606/22817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32606/22817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32606 ÷ 216
    32606 ÷ 65536     		x = 0.497528076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22817 ÷ 216
    22817 ÷ 65536     		y = 0.348159790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497528076171875 × 2 - 1) × π
    -0.00494384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01553156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348159790039062 × 2 - 1) × π
    0.303680419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.954040176238358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01553156} λ = -0.01553156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.954040176238358))-π/2
    2×atan(2.59617751379025)-π/2
    2×1.20312927290583-π/2
    2.40625854581166-1.57079632675     		φ = 0.83546222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01553156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.889893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83546222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.868459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32606 KachelY 22817 -0.01553156 0.83546222 -0.889893 47.868459
    Oben rechts KachelX + 1 32607 KachelY 22817 -0.01543568 0.83546222 -0.884399 47.868459
    Unten links KachelX 32606 KachelY + 1 22818 -0.01553156 0.83539790 -0.889893 47.864774
    Unten rechts KachelX + 1 32607 KachelY + 1 22818 -0.01543568 0.83539790 -0.884399 47.864774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83546222-0.83539790) × R
    6.43200000000066e-05 × 6371000     		dl = 409.782720000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83546222-0.83539790) × R
    6.43200000000066e-05 × 6371000     		dr = 409.782720000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01553156--0.01543568) × cos(0.83546222) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.670834968900734 × 6371000     		do = 409.780533588766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01553156--0.01543568) × cos(0.83539790) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.670882667653705 × 6371000     		du = 409.809670442612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83546222)-sin(0.83539790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670834968900734-0.670882667653705)×R²
    abs(-0.01543568--0.01553156)×4.76987529702821e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.76987529702821e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.76987529702821e-05×40589641000000     		ar = 167926.951604633m²