Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32605 / 22884
↖ ↑ ↗
← N 47.620975°
W  0.895386°		 ← 411.69 m → N 47.620975°
W  0.889893°		 →
↑
411.69 m
↓
↑
411.69 m
↓
N 47.617273°
W  0.895386°		 ← 411.72 m →
169 497 m²		 N 47.617273°
W  0.889893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497520446777344 y=0.349189758300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497520446777344 × 216)
    floor (0.497520446777344 × 65536)
    floor (32605.5)     		tx = 32605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349189758300781 × 216)
    floor (0.349189758300781 × 65536)
    floor (22884.5)     		ty = 22884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32605 / 22884 ti = "16/32605/22884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32605/22884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32605 ÷ 216
    32605 ÷ 65536     		x = 0.497512817382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22884 ÷ 216
    22884 ÷ 65536     		y = 0.34918212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497512817382812 × 2 - 1) × π
    -0.004974365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01562743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34918212890625 × 2 - 1) × π
    0.3016357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.94761663168927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01562743} λ = -0.01562743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.94761663168927))-π/2
    2×atan(2.57955429901219)-π/2
    2×1.20096957039121-π/2
    2.40193914078243-1.57079632675     		φ = 0.83114281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01562743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.895386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83114281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.620975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32605 KachelY 22884 -0.01562743 0.83114281 -0.895386 47.620975
    Oben rechts KachelX + 1 32606 KachelY 22884 -0.01553156 0.83114281 -0.889893 47.620975
    Unten links KachelX 32605 KachelY + 1 22885 -0.01562743 0.83107819 -0.895386 47.617273
    Unten rechts KachelX + 1 32606 KachelY + 1 22885 -0.01553156 0.83107819 -0.889893 47.617273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83114281-0.83107819) × R
    6.46199999999597e-05 × 6371000     		dl = 411.694019999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83114281-0.83107819) × R
    6.46199999999597e-05 × 6371000     		dr = 411.694019999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01562743--0.01553156) × cos(0.83114281) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.67403200420583 × 6371000     		do = 411.690504757516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01562743--0.01553156) × cos(0.83107819) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.674079737731039 × 6371000     		du = 411.719659810932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83114281)-sin(0.83107819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67403200420583-0.674079737731039)×R²
    abs(-0.01553156--0.01562743)×4.77335252087041e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.77335252087041e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.77335252087041e-05×40589641000000     		ar = 169496.520438795m²