Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32604 / 24079
↖ ↑ ↗
← N 43.008664°
W  0.900879°		 ← 446.64 m → N 43.008664°
W  0.895386°		 →
↑
446.67 m
↓
↑
446.67 m
↓
N 43.004647°
W  0.900879°		 ← 446.67 m →
199 507 m²		 N 43.004647°
W  0.895386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497505187988281 y=0.367424011230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497505187988281 × 216)
    floor (0.497505187988281 × 65536)
    floor (32604.5)     		tx = 32604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367424011230469 × 216)
    floor (0.367424011230469 × 65536)
    floor (24079.5)     		ty = 24079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32604 / 24079 ti = "16/32604/24079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32604/24079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32604 ÷ 216
    32604 ÷ 65536     		x = 0.49749755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24079 ÷ 216
    24079 ÷ 65536     		y = 0.367416381835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49749755859375 × 2 - 1) × π
    -0.0050048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01572330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367416381835938 × 2 - 1) × π
    0.265167236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.833047441597336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01572330} λ = -0.01572330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.833047441597336))-π/2
    2×atan(2.30031815492601)-π/2
    2×1.16071956143894-π/2
    2.32143912287788-1.57079632675     		φ = 0.75064280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01572330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.900879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75064280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.008664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32604 KachelY 24079 -0.01572330 0.75064280 -0.900879 43.008664
    Oben rechts KachelX + 1 32605 KachelY 24079 -0.01562743 0.75064280 -0.895386 43.008664
    Unten links KachelX 32604 KachelY + 1 24080 -0.01572330 0.75057269 -0.900879 43.004647
    Unten rechts KachelX + 1 32605 KachelY + 1 24080 -0.01562743 0.75057269 -0.895386 43.004647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75064280-0.75057269) × R
    7.01100000000121e-05 × 6371000     		dl = 446.670810000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75064280-0.75057269) × R
    7.01100000000121e-05 × 6371000     		dr = 446.670810000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01572330--0.01562743) × cos(0.75064280) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.731250560345122 × 6371000     		do = 446.638899064438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01572330--0.01562743) × cos(0.75057269) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.731298381206282 × 6371000     		du = 446.668107461585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75064280)-sin(0.75057269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731250560345122-0.731298381206282)×R²
    abs(-0.01562743--0.01572330)×4.78208611602859e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78208611602859e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78208611602859e-05×40589641000000     		ar = 199507.082173807m²