Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32603 / 22889
↖ ↑ ↗
← N 47.602459°
W  0.906372°		 ← 411.88 m → N 47.602459°
W  0.900879°		 →
↑
411.89 m
↓
↑
411.89 m
↓
N 47.598755°
W  0.906372°		 ← 411.91 m →
169 653 m²		 N 47.598755°
W  0.900879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497489929199219 y=0.349266052246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497489929199219 × 216)
    floor (0.497489929199219 × 65536)
    floor (32603.5)     		tx = 32603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349266052246094 × 216)
    floor (0.349266052246094 × 65536)
    floor (22889.5)     		ty = 22889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32603 / 22889 ti = "16/32603/22889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32603/22889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32603 ÷ 216
    32603 ÷ 65536     		x = 0.497482299804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22889 ÷ 216
    22889 ÷ 65536     		y = 0.349258422851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497482299804688 × 2 - 1) × π
    -0.005035400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01581918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349258422851562 × 2 - 1) × π
    0.301483154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.94713726269307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01581918} λ = -0.01581918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.94713726269307))-π/2
    2×atan(2.57831803699375)-π/2
    2×1.20080798676453-π/2
    2.40161597352905-1.57079632675     		φ = 0.83081965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01581918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.906372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83081965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.602459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32603 KachelY 22889 -0.01581918 0.83081965 -0.906372 47.602459
    Oben rechts KachelX + 1 32604 KachelY 22889 -0.01572330 0.83081965 -0.900879 47.602459
    Unten links KachelX 32603 KachelY + 1 22890 -0.01581918 0.83075500 -0.906372 47.598755
    Unten rechts KachelX + 1 32604 KachelY + 1 22890 -0.01572330 0.83075500 -0.900879 47.598755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83081965-0.83075500) × R
    6.46499999999994e-05 × 6371000     		dl = 411.885149999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83081965-0.83075500) × R
    6.46499999999994e-05 × 6371000     		dr = 411.885149999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01581918--0.01572330) × cos(0.83081965) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.674270687991092 × 6371000     		do = 411.879247679975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01581918--0.01572330) × cos(0.83075500) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.674318429590991 × 6371000     		du = 411.908410706931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83081965)-sin(0.83075500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674270687991092-0.674318429590991)×R²
    abs(-0.01572330--0.01581918)×4.77415998989539e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.77415998989539e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.77415998989539e-05×40589641000000     		ar = 169652.951680781m²