Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32600 / 22824
↖ ↑ ↗
← N 47.842658°
W  0.922852°		 ← 409.98 m → N 47.842658°
W  0.917358°		 →
↑
409.97 m
↓
↑
409.97 m
↓
N 47.838971°
W  0.922852°		 ← 410.01 m →
168 089 m²		 N 47.838971°
W  0.917358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497444152832031 y=0.348274230957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497444152832031 × 216)
    floor (0.497444152832031 × 65536)
    floor (32600.5)     		tx = 32600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348274230957031 × 216)
    floor (0.348274230957031 × 65536)
    floor (22824.5)     		ty = 22824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32600 / 22824 ti = "16/32600/22824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32600/22824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32600 ÷ 216
    32600 ÷ 65536     		x = 0.4974365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22824 ÷ 216
    22824 ÷ 65536     		y = 0.3482666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4974365234375 × 2 - 1) × π
    -0.005126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01610680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3482666015625 × 2 - 1) × π
    0.303466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.953369059643677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01610680} λ = -0.01610680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.953369059643677))-π/2
    2×atan(2.59443576050315)-π/2
    2×1.20290411264624-π/2
    2.40580822529247-1.57079632675     		φ = 0.83501190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01610680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.922852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83501190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.842658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32600 KachelY 22824 -0.01610680 0.83501190 -0.922852 47.842658
    Oben rechts KachelX + 1 32601 KachelY 22824 -0.01601092 0.83501190 -0.917358 47.842658
    Unten links KachelX 32600 KachelY + 1 22825 -0.01610680 0.83494755 -0.922852 47.838971
    Unten rechts KachelX + 1 32601 KachelY + 1 22825 -0.01601092 0.83494755 -0.917358 47.838971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83501190-0.83494755) × R
    6.43500000000463e-05 × 6371000     		dl = 409.973850000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83501190-0.83494755) × R
    6.43500000000463e-05 × 6371000     		dr = 409.973850000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01610680--0.01601092) × cos(0.83501190) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.67116886118383 × 6371000     		do = 409.984492184055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01610680--0.01601092) × cos(0.83494755) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.671216562738659 × 6371000     		du = 410.013630749421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83501190)-sin(0.83494755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67116886118383-0.671216562738659)×R²
    abs(-0.01601092--0.01610680)×4.77015548285831e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.77015548285831e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.77015548285831e-05×40589641000000     		ar = 168088.893784238m²