Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32600 / 22808
↖ ↑ ↗
← N 47.901613°
W  0.922852°		 ← 409.52 m → N 47.901613°
W  0.917358°		 →
↑
409.46 m
↓
↑
409.46 m
↓
N 47.897931°
W  0.922852°		 ← 409.55 m →
167 689 m²		 N 47.897931°
W  0.917358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497444152832031 y=0.348030090332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497444152832031 × 216)
    floor (0.497444152832031 × 65536)
    floor (32600.5)     		tx = 32600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348030090332031 × 216)
    floor (0.348030090332031 × 65536)
    floor (22808.5)     		ty = 22808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32600 / 22808 ti = "16/32600/22808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32600/22808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32600 ÷ 216
    32600 ÷ 65536     		x = 0.4974365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22808 ÷ 216
    22808 ÷ 65536     		y = 0.3480224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4974365234375 × 2 - 1) × π
    -0.005126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01610680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3480224609375 × 2 - 1) × π
    0.303955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.954903040431519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01610680} λ = -0.01610680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.954903040431519))-π/2
    2×atan(2.59841862915604)-π/2
    2×1.20341860004615-π/2
    2.40683720009229-1.57079632675     		φ = 0.83604087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01610680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.922852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83604087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.901613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32600 KachelY 22808 -0.01610680 0.83604087 -0.922852 47.901613
    Oben rechts KachelX + 1 32601 KachelY 22808 -0.01601092 0.83604087 -0.917358 47.901613
    Unten links KachelX 32600 KachelY + 1 22809 -0.01610680 0.83597660 -0.922852 47.897931
    Unten rechts KachelX + 1 32601 KachelY + 1 22809 -0.01601092 0.83597660 -0.917358 47.897931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83604087-0.83597660) × R
    6.42700000000884e-05 × 6371000     		dl = 409.464170000563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83604087-0.83597660) × R
    6.42700000000884e-05 × 6371000     		dr = 409.464170000563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01610680--0.01601092) × cos(0.83604087) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.670405725918612 × 6371000     		do = 409.518329877857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01610680--0.01601092) × cos(0.83597660) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.670453412534554 × 6371000     		du = 409.547459317781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83604087)-sin(0.83597660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670405725918612-0.670453412534554)×R²
    abs(-0.01601092--0.01610680)×4.76866159414557e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.76866159414557e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.76866159414557e-05×40589641000000     		ar = 167689.04683243m²