Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32598 / 24083
↖ ↑ ↗
← N 42.992595°
W  0.933838°		 ← 446.80 m → N 42.992595°
W  0.928345°		 →
↑
446.80 m
↓
↑
446.80 m
↓
N 42.988576°
W  0.933838°		 ← 446.83 m →
199 637 m²		 N 42.988576°
W  0.928345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497413635253906 y=0.367485046386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497413635253906 × 216)
    floor (0.497413635253906 × 65536)
    floor (32598.5)     		tx = 32598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367485046386719 × 216)
    floor (0.367485046386719 × 65536)
    floor (24083.5)     		ty = 24083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32598 / 24083 ti = "16/32598/24083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32598/24083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32598 ÷ 216
    32598 ÷ 65536     		x = 0.497406005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24083 ÷ 216
    24083 ÷ 65536     		y = 0.367477416992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497406005859375 × 2 - 1) × π
    -0.00518798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01629855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367477416992188 × 2 - 1) × π
    0.265045166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.832663946400375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01629855} λ = -0.01629855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.832663946400375))-π/2
    2×atan(2.29943616309274)-π/2
    2×1.16057932756066-π/2
    2.32115865512132-1.57079632675     		φ = 0.75036233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01629855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.933838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75036233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.992595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32598 KachelY 24083 -0.01629855 0.75036233 -0.933838 42.992595
    Oben rechts KachelX + 1 32599 KachelY 24083 -0.01620267 0.75036233 -0.928345 42.992595
    Unten links KachelX 32598 KachelY + 1 24084 -0.01629855 0.75029220 -0.933838 42.988576
    Unten rechts KachelX + 1 32599 KachelY + 1 24084 -0.01620267 0.75029220 -0.928345 42.988576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75036233-0.75029220) × R
    7.01300000000016e-05 × 6371000     		dl = 446.79823000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75036233-0.75029220) × R
    7.01300000000016e-05 × 6371000     		dr = 446.79823000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01629855--0.01620267) × cos(0.75036233) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.731441842678141 × 6371000     		do = 446.802332133867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01629855--0.01620267) × cos(0.75029220) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.731489662794871 × 6371000     		du = 446.831543122946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75036233)-sin(0.75029220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731441842678141-0.731489662794871)×R²
    abs(-0.01620267--0.01629855)×4.78201167307679e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.78201167307679e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.78201167307679e-05×40589641000000     		ar = 199637.016948073m²