Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32594 / 23122
↖ ↑ ↗
← N 46.732331°
W  0.955810°		 ← 418.64 m → N 46.732331°
W  0.950318°		 →
↑
418.64 m
↓
↑
418.64 m
↓
N 46.728566°
W  0.955810°		 ← 418.67 m →
175 264 m²		 N 46.728566°
W  0.950318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497352600097656 y=0.352821350097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497352600097656 × 216)
    floor (0.497352600097656 × 65536)
    floor (32594.5)     		tx = 32594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352821350097656 × 216)
    floor (0.352821350097656 × 65536)
    floor (23122.5)     		ty = 23122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32594 / 23122 ti = "16/32594/23122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32594/23122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32594 ÷ 216
    32594 ÷ 65536     		x = 0.497344970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23122 ÷ 216
    23122 ÷ 65536     		y = 0.352813720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497344970703125 × 2 - 1) × π
    -0.00531005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01668204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352813720703125 × 2 - 1) × π
    0.29437255859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.924798667470123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01668204} λ = -0.01668204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.924798667470123))-π/2
    2×atan(2.52136057734954)-π/2
    2×1.19321468504159-π/2
    2.38642937008318-1.57079632675     		φ = 0.81563304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01668204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.955810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81563304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.732331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32594 KachelY 23122 -0.01668204 0.81563304 -0.955810 46.732331
    Oben rechts KachelX + 1 32595 KachelY 23122 -0.01658617 0.81563304 -0.950318 46.732331
    Unten links KachelX 32594 KachelY + 1 23123 -0.01668204 0.81556733 -0.955810 46.728566
    Unten rechts KachelX + 1 32595 KachelY + 1 23123 -0.01658617 0.81556733 -0.950318 46.728566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81563304-0.81556733) × R
    6.57099999999966e-05 × 6371000     		dl = 418.638409999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81563304-0.81556733) × R
    6.57099999999966e-05 × 6371000     		dr = 418.638409999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01668204--0.01658617) × cos(0.81563304) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.685407576647246 × 6371000     		do = 418.638565281466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01668204--0.01658617) × cos(0.81556733) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.685455422537092 × 6371000     		du = 418.667788965829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81563304)-sin(0.81556733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685407576647246-0.685455422537092)×R²
    abs(-0.01658617--0.01668204)×4.78458898459655e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78458898459655e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78458898459655e-05×40589641000000     		ar = 175264.30047548m²