Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32593 / 23121
↖ ↑ ↗
← N 46.736096°
W  0.961303°		 ← 418.61 m → N 46.736096°
W  0.955810°		 →
↑
418.64 m
↓
↑
418.64 m
↓
N 46.732331°
W  0.961303°		 ← 418.64 m →
175 252 m²		 N 46.732331°
W  0.955810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497337341308594 y=0.352806091308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497337341308594 × 216)
    floor (0.497337341308594 × 65536)
    floor (32593.5)     		tx = 32593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352806091308594 × 216)
    floor (0.352806091308594 × 65536)
    floor (23121.5)     		ty = 23121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32593 / 23121 ti = "16/32593/23121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32593/23121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32593 ÷ 216
    32593 ÷ 65536     		x = 0.497329711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23121 ÷ 216
    23121 ÷ 65536     		y = 0.352798461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497329711914062 × 2 - 1) × π
    -0.005340576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01677791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352798461914062 × 2 - 1) × π
    0.294403076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.924894541269363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01677791} λ = -0.01677791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.924894541269363))-π/2
    2×atan(2.52160232135562)-π/2
    2×1.19324754020881-π/2
    2.38649508041761-1.57079632675     		φ = 0.81569875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01677791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.961303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81569875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.736096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32593 KachelY 23121 -0.01677791 0.81569875 -0.961303 46.736096
    Oben rechts KachelX + 1 32594 KachelY 23121 -0.01668204 0.81569875 -0.955810 46.736096
    Unten links KachelX 32593 KachelY + 1 23122 -0.01677791 0.81563304 -0.961303 46.732331
    Unten rechts KachelX + 1 32594 KachelY + 1 23122 -0.01668204 0.81563304 -0.955810 46.732331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81569875-0.81563304) × R
    6.57099999999966e-05 × 6371000     		dl = 418.638409999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81569875-0.81563304) × R
    6.57099999999966e-05 × 6371000     		dr = 418.638409999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01677791--0.01668204) × cos(0.81569875) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.685359727797945 × 6371000     		do = 418.60933978952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01677791--0.01668204) × cos(0.81563304) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.685407576647246 × 6371000     		du = 418.638565281482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81569875)-sin(0.81563304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685359727797945-0.685407576647246)×R²
    abs(-0.01668204--0.01677791)×4.7848849301646e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.7848849301646e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.7848849301646e-05×40589641000000     		ar = 175252.065940242m²