Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32593 / 22960
↖ ↑ ↗
← N 47.338823°
W  0.961303°		 ← 413.91 m → N 47.338823°
W  0.955810°		 →
↑
413.92 m
↓
↑
413.92 m
↓
N 47.335100°
W  0.961303°		 ← 413.94 m →
171 332 m²		 N 47.335100°
W  0.955810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497337341308594 y=0.350349426269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497337341308594 × 216)
    floor (0.497337341308594 × 65536)
    floor (32593.5)     		tx = 32593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350349426269531 × 216)
    floor (0.350349426269531 × 65536)
    floor (22960.5)     		ty = 22960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32593 / 22960 ti = "16/32593/22960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32593/22960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32593 ÷ 216
    32593 ÷ 65536     		x = 0.497329711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22960 ÷ 216
    22960 ÷ 65536     		y = 0.350341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497329711914062 × 2 - 1) × π
    -0.005340576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01677791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350341796875 × 2 - 1) × π
    0.29931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.940330222947022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01677791} λ = -0.01677791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.940330222947022))-π/2
    2×atan(2.56082692253231)-π/2
    2×1.19850732340957-π/2
    2.39701464681914-1.57079632675     		φ = 0.82621832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01677791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.961303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82621832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.338823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32593 KachelY 22960 -0.01677791 0.82621832 -0.961303 47.338823
    Oben rechts KachelX + 1 32594 KachelY 22960 -0.01668204 0.82621832 -0.955810 47.338823
    Unten links KachelX 32593 KachelY + 1 22961 -0.01677791 0.82615335 -0.961303 47.335100
    Unten rechts KachelX + 1 32594 KachelY + 1 22961 -0.01668204 0.82615335 -0.955810 47.335100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82621832-0.82615335) × R
    6.4969999999942e-05 × 6371000     		dl = 413.923869999631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82621832-0.82615335) × R
    6.4969999999942e-05 × 6371000     		dr = 413.923869999631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01677791--0.01668204) × cos(0.82621832) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.677661547998942 × 6371000     		do = 413.907385717028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01677791--0.01668204) × cos(0.82615335) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.677709323813318 × 6371000     		du = 413.936566600151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82621832)-sin(0.82615335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677661547998942-0.677709323813318)×R²
    abs(-0.01668204--0.01677791)×4.77758143765383e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.77758143765383e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.77758143765383e-05×40589641000000     		ar = 171332.18630959m²