Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32593 / 22799
↖ ↑ ↗
← N 47.934747°
W  0.961303°		 ← 409.21 m → N 47.934747°
W  0.955810°		 →
↑
409.27 m
↓
↑
409.27 m
↓
N 47.931066°
W  0.961303°		 ← 409.24 m →
167 486 m²		 N 47.931066°
W  0.955810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497337341308594 y=0.347892761230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497337341308594 × 216)
    floor (0.497337341308594 × 65536)
    floor (32593.5)     		tx = 32593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347892761230469 × 216)
    floor (0.347892761230469 × 65536)
    floor (22799.5)     		ty = 22799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32593 / 22799 ti = "16/32593/22799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32593/22799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32593 ÷ 216
    32593 ÷ 65536     		x = 0.497329711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22799 ÷ 216
    22799 ÷ 65536     		y = 0.347885131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497329711914062 × 2 - 1) × π
    -0.005340576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01677791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347885131835938 × 2 - 1) × π
    0.304229736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.95576590462468
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01677791} λ = -0.01677791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.95576590462468))-π/2
    2×atan(2.60066167913457)-π/2
    2×1.20370774200676-π/2
    2.40741548401352-1.57079632675     		φ = 0.83661916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01677791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.961303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83661916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.934747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32593 KachelY 22799 -0.01677791 0.83661916 -0.961303 47.934747
    Oben rechts KachelX + 1 32594 KachelY 22799 -0.01668204 0.83661916 -0.955810 47.934747
    Unten links KachelX 32593 KachelY + 1 22800 -0.01677791 0.83655492 -0.961303 47.931066
    Unten rechts KachelX + 1 32594 KachelY + 1 22800 -0.01668204 0.83655492 -0.955810 47.931066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83661916-0.83655492) × R
    6.42400000000487e-05 × 6371000     		dl = 409.27304000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83661916-0.83655492) × R
    6.42400000000487e-05 × 6371000     		dr = 409.27304000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01677791--0.01668204) × cos(0.83661916) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.669976525718309 × 6371000     		do = 409.21346809584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01677791--0.01668204) × cos(0.83655492) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.670024214973752 × 6371000     		du = 409.242596109825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83661916)-sin(0.83655492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669976525718309-0.670024214973752)×R²
    abs(-0.01668204--0.01677791)×4.7689255442962e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.7689255442962e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.7689255442962e-05×40589641000000     		ar = 167486.000809405m²