Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32591 / 24176
↖ ↑ ↗
← N 42.617791°
W  0.972290°		 ← 449.47 m → N 42.617791°
W  0.966797°		 →
↑
449.47 m
↓
↑
449.47 m
↓
N 42.613749°
W  0.972290°		 ← 449.50 m →
202 032 m²		 N 42.613749°
W  0.966797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497306823730469 y=0.368904113769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497306823730469 × 216)
    floor (0.497306823730469 × 65536)
    floor (32591.5)     		tx = 32591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368904113769531 × 216)
    floor (0.368904113769531 × 65536)
    floor (24176.5)     		ty = 24176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32591 / 24176 ti = "16/32591/24176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32591/24176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32591 ÷ 216
    32591 ÷ 65536     		x = 0.497299194335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24176 ÷ 216
    24176 ÷ 65536     		y = 0.368896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497299194335938 × 2 - 1) × π
    -0.005401611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01696966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368896484375 × 2 - 1) × π
    0.26220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.823747683071045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01696966} λ = -0.01696966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.823747683071045))-π/2
    2×atan(2.27902491600449)-π/2
    2×1.15730855360429-π/2
    2.31461710720857-1.57079632675     		φ = 0.74382078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01696966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.972290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74382078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.617791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32591 KachelY 24176 -0.01696966 0.74382078 -0.972290 42.617791
    Oben rechts KachelX + 1 32592 KachelY 24176 -0.01687379 0.74382078 -0.966797 42.617791
    Unten links KachelX 32591 KachelY + 1 24177 -0.01696966 0.74375023 -0.972290 42.613749
    Unten rechts KachelX + 1 32592 KachelY + 1 24177 -0.01687379 0.74375023 -0.966797 42.613749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74382078-0.74375023) × R
    7.05500000000026e-05 × 6371000     		dl = 449.474050000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74382078-0.74375023) × R
    7.05500000000026e-05 × 6371000     		dr = 449.474050000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01696966--0.01687379) × cos(0.74382078) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.735886869022593 × 6371000     		do = 449.470699702598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01696966--0.01687379) × cos(0.74375023) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.735934636914292 × 6371000     		du = 449.499875746646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74382078)-sin(0.74375023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735886869022593-0.735934636914292)×R²
    abs(-0.01687379--0.01696966)×4.77678916989133e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.77678916989133e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.77678916989133e-05×40589641000000     		ar = 202031.972772962m²