Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32585 / 22857
↖ ↑ ↗
← N 47.720849°
W  1.005249°		 ← 410.95 m → N 47.720849°
W  0.999756°		 →
↑
410.93 m
↓
↑
410.93 m
↓
N 47.717154°
W  1.005249°		 ← 410.98 m →
168 876 m²		 N 47.717154°
W  0.999756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497215270996094 y=0.348777770996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497215270996094 × 216)
    floor (0.497215270996094 × 65536)
    floor (32585.5)     		tx = 32585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348777770996094 × 216)
    floor (0.348777770996094 × 65536)
    floor (22857.5)     		ty = 22857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32585 / 22857 ti = "16/32585/22857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32585/22857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32585 ÷ 216
    32585 ÷ 65536     		x = 0.497207641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22857 ÷ 216
    22857 ÷ 65536     		y = 0.348770141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497207641601562 × 2 - 1) × π
    -0.005584716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01754491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348770141601562 × 2 - 1) × π
    0.302459716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.950205224268753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01754491} λ = -0.01754491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.950205224268753))-π/2
    2×atan(2.58624036414478)-π/2
    2×1.20184113350103-π/2
    2.40368226700205-1.57079632675     		φ = 0.83288594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01754491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.005249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83288594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.720849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32585 KachelY 22857 -0.01754491 0.83288594 -1.005249 47.720849
    Oben rechts KachelX + 1 32586 KachelY 22857 -0.01744903 0.83288594 -0.999756 47.720849
    Unten links KachelX 32585 KachelY + 1 22858 -0.01754491 0.83282144 -1.005249 47.717154
    Unten rechts KachelX + 1 32586 KachelY + 1 22858 -0.01744903 0.83282144 -0.999756 47.717154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83288594-0.83282144) × R
    6.45000000000229e-05 × 6371000     		dl = 410.929500000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83288594-0.83282144) × R
    6.45000000000229e-05 × 6371000     		dr = 410.929500000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01754491--0.01744903) × cos(0.83288594) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.672743326966334 × 6371000     		do = 410.946256937507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01754491--0.01744903) × cos(0.83282144) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.672791047565451 × 6371000     		du = 410.975407136105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83288594)-sin(0.83282144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672743326966334-0.672791047565451)×R²
    abs(-0.01744903--0.01754491)×4.77205991178398e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.77205991178398e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.77205991178398e-05×40589641000000     		ar = 168875.92928713m²