Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32584 / 22859
↖ ↑ ↗
← N 47.713457°
W  1.010742°		 ← 410.96 m → N 47.713457°
W  1.005249°		 →
↑
410.99 m
↓
↑
410.99 m
↓
N 47.709761°
W  1.010742°		 ← 410.99 m →
168 908 m²		 N 47.709761°
W  1.005249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497200012207031 y=0.348808288574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497200012207031 × 216)
    floor (0.497200012207031 × 65536)
    floor (32584.5)     		tx = 32584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348808288574219 × 216)
    floor (0.348808288574219 × 65536)
    floor (22859.5)     		ty = 22859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32584 / 22859 ti = "16/32584/22859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32584/22859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32584 ÷ 216
    32584 ÷ 65536     		x = 0.4971923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22859 ÷ 216
    22859 ÷ 65536     		y = 0.348800659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4971923828125 × 2 - 1) × π
    -0.005615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01764078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348800659179688 × 2 - 1) × π
    0.302398681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.950013476670273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01764078} λ = -0.01764078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.950013476670273))-π/2
    2×atan(2.58574450630716)-π/2
    2×1.20177663046715-π/2
    2.40355326093431-1.57079632675     		φ = 0.83275693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01764078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.010742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83275693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.713457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32584 KachelY 22859 -0.01764078 0.83275693 -1.010742 47.713457
    Oben rechts KachelX + 1 32585 KachelY 22859 -0.01754491 0.83275693 -1.005249 47.713457
    Unten links KachelX 32584 KachelY + 1 22860 -0.01764078 0.83269242 -1.010742 47.709761
    Unten rechts KachelX + 1 32585 KachelY + 1 22860 -0.01754491 0.83269242 -1.005249 47.709761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83275693-0.83269242) × R
    6.45099999999621e-05 × 6371000     		dl = 410.993209999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83275693-0.83269242) × R
    6.45099999999621e-05 × 6371000     		dr = 410.993209999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01764078--0.01754491) × cos(0.83275693) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.672838772763482 × 6371000     		do = 410.961693585735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01764078--0.01754491) × cos(0.83269242) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.672886495161467 × 6371000     		du = 410.990841842779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83275693)-sin(0.83269242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672838772763482-0.672886495161467)×R²
    abs(-0.01754491--0.01764078)×4.77223979847841e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77223979847841e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77223979847841e-05×40589641000000     		ar = 168908.455560195m²