Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32583 / 22860
↖ ↑ ↗
← N 47.709761°
W  1.016235°		 ← 410.99 m → N 47.709761°
W  1.010742°		 →
↑
410.99 m
↓
↑
410.99 m
↓
N 47.706065°
W  1.016235°		 ← 411.02 m →
168 920 m²		 N 47.706065°
W  1.010742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497184753417969 y=0.348823547363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497184753417969 × 216)
    floor (0.497184753417969 × 65536)
    floor (32583.5)     		tx = 32583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348823547363281 × 216)
    floor (0.348823547363281 × 65536)
    floor (22860.5)     		ty = 22860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32583 / 22860 ti = "16/32583/22860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32583/22860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32583 ÷ 216
    32583 ÷ 65536     		x = 0.497177124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22860 ÷ 216
    22860 ÷ 65536     		y = 0.34881591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497177124023438 × 2 - 1) × π
    -0.005645751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01773665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34881591796875 × 2 - 1) × π
    0.3023681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.949917602871033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01773665} λ = -0.01773665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.949917602871033))-π/2
    2×atan(2.5854966130409)-π/2
    2×1.20174437551876-π/2
    2.40348875103752-1.57079632675     		φ = 0.83269242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01773665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.016235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83269242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.709761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32583 KachelY 22860 -0.01773665 0.83269242 -1.016235 47.709761
    Oben rechts KachelX + 1 32584 KachelY 22860 -0.01764078 0.83269242 -1.010742 47.709761
    Unten links KachelX 32583 KachelY + 1 22861 -0.01773665 0.83262791 -1.016235 47.706065
    Unten rechts KachelX + 1 32584 KachelY + 1 22861 -0.01764078 0.83262791 -1.010742 47.706065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83269242-0.83262791) × R
    6.45099999999621e-05 × 6371000     		dl = 410.993209999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83269242-0.83262791) × R
    6.45099999999621e-05 × 6371000     		dr = 410.993209999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01773665--0.01764078) × cos(0.83269242) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.672886495161467 × 6371000     		do = 410.990841842794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01773665--0.01764078) × cos(0.83262791) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.672934214759207 × 6371000     		du = 411.019988389483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83269242)-sin(0.83262791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672886495161467-0.672934214759207)×R²
    abs(-0.01764078--0.01773665)×4.77195977406364e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.77195977406364e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.77195977406364e-05×40589641000000     		ar = 168920.434944491m²