Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32580 / 22972
↖ ↑ ↗
← N 47.294134°
W  1.032715°		 ← 414.26 m → N 47.294134°
W  1.027222°		 →
↑
414.31 m
↓
↑
414.31 m
↓
N 47.290408°
W  1.032715°		 ← 414.29 m →
171 636 m²		 N 47.290408°
W  1.027222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497138977050781 y=0.350532531738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497138977050781 × 216)
    floor (0.497138977050781 × 65536)
    floor (32580.5)     		tx = 32580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350532531738281 × 216)
    floor (0.350532531738281 × 65536)
    floor (22972.5)     		ty = 22972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32580 / 22972 ti = "16/32580/22972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32580/22972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32580 ÷ 216
    32580 ÷ 65536     		x = 0.49713134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22972 ÷ 216
    22972 ÷ 65536     		y = 0.35052490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49713134765625 × 2 - 1) × π
    -0.0057373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01802427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35052490234375 × 2 - 1) × π
    0.2989501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.93917973735614
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01802427} λ = -0.01802427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93917973735614))-π/2
    2×atan(2.55788242218459)-π/2
    2×1.1981173385783-π/2
    2.39623467715661-1.57079632675     		φ = 0.82543835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01802427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.032715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82543835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.294134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32580 KachelY 22972 -0.01802427 0.82543835 -1.032715 47.294134
    Oben rechts KachelX + 1 32581 KachelY 22972 -0.01792840 0.82543835 -1.027222 47.294134
    Unten links KachelX 32580 KachelY + 1 22973 -0.01802427 0.82537332 -1.032715 47.290408
    Unten rechts KachelX + 1 32581 KachelY + 1 22973 -0.01792840 0.82537332 -1.027222 47.290408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82543835-0.82537332) × R
    6.50300000000215e-05 × 6371000     		dl = 414.306130000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82543835-0.82537332) × R
    6.50300000000215e-05 × 6371000     		dr = 414.306130000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01802427--0.01792840) × cos(0.82543835) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.678234911421199 × 6371000     		do = 414.257589083093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01802427--0.01792840) × cos(0.82537332) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.678282696967638 × 6371000     		du = 414.286775910441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82543835)-sin(0.82537332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678234911421199-0.678282696967638)×R²
    abs(-0.01792840--0.01802427)×4.77855464391386e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77855464391386e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77855464391386e-05×40589641000000     		ar = 171635.50475743m²