Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32578 / 22976
↖ ↑ ↗
← N 47.279229°
W  1.043701°		 ← 414.37 m → N 47.279229°
W  1.038208°		 →
↑
414.37 m
↓
↑
414.37 m
↓
N 47.275502°
W  1.043701°		 ← 414.40 m →
171 710 m²		 N 47.275502°
W  1.038208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497108459472656 y=0.350593566894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497108459472656 × 216)
    floor (0.497108459472656 × 65536)
    floor (32578.5)     		tx = 32578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350593566894531 × 216)
    floor (0.350593566894531 × 65536)
    floor (22976.5)     		ty = 22976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32578 / 22976 ti = "16/32578/22976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32578/22976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32578 ÷ 216
    32578 ÷ 65536     		x = 0.497100830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22976 ÷ 216
    22976 ÷ 65536     		y = 0.3505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497100830078125 × 2 - 1) × π
    -0.00579833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01821602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3505859375 × 2 - 1) × π
    0.298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.93879624215918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01821602} λ = -0.01821602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93879624215918))-π/2
    2×atan(2.5569016746293)-π/2
    2×1.19798727033797-π/2
    2.39597454067595-1.57079632675     		φ = 0.82517821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01821602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.043701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82517821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.279229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32578 KachelY 22976 -0.01821602 0.82517821 -1.043701 47.279229
    Oben rechts KachelX + 1 32579 KachelY 22976 -0.01812015 0.82517821 -1.038208 47.279229
    Unten links KachelX 32578 KachelY + 1 22977 -0.01821602 0.82511317 -1.043701 47.275502
    Unten rechts KachelX + 1 32579 KachelY + 1 22977 -0.01812015 0.82511317 -1.038208 47.275502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82517821-0.82511317) × R
    6.50400000000717e-05 × 6371000     		dl = 414.369840000457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82517821-0.82511317) × R
    6.50400000000717e-05 × 6371000     		dr = 414.369840000457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01821602--0.01812015) × cos(0.82517821) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.67842605108918 × 6371000     		do = 414.374334854657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01821602--0.01812015) × cos(0.82511317) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.678473832506209 × 6371000     		du = 414.403519159812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82517821)-sin(0.82511317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67842605108918-0.678473832506209)×R²
    abs(-0.01812015--0.01821602)×4.77814170289914e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77814170289914e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77814170289914e-05×40589641000000     		ar = 171710.273442477m²