Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32577 / 23874
↖ ↑ ↗
← N 43.826601°
W  1.049195°		 ← 440.69 m → N 43.826601°
W  1.043701°		 →
↑
440.68 m
↓
↑
440.68 m
↓
N 43.822638°
W  1.049195°		 ← 440.72 m →
194 211 m²		 N 43.822638°
W  1.043701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497093200683594 y=0.364295959472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497093200683594 × 216)
    floor (0.497093200683594 × 65536)
    floor (32577.5)     		tx = 32577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364295959472656 × 216)
    floor (0.364295959472656 × 65536)
    floor (23874.5)     		ty = 23874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32577 / 23874 ti = "16/32577/23874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32577/23874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32577 ÷ 216
    32577 ÷ 65536     		x = 0.497085571289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23874 ÷ 216
    23874 ÷ 65536     		y = 0.364288330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497085571289062 × 2 - 1) × π
    -0.005828857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01831190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364288330078125 × 2 - 1) × π
    0.27142333984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.852701570441559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01831190} λ = -0.01831190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.852701570441559))-π/2
    2×atan(2.34597611833486)-π/2
    2×1.16785741010374-π/2
    2.33571482020748-1.57079632675     		φ = 0.76491849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01831190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.049195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76491849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.826601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32577 KachelY 23874 -0.01831190 0.76491849 -1.049195 43.826601
    Oben rechts KachelX + 1 32578 KachelY 23874 -0.01821602 0.76491849 -1.043701 43.826601
    Unten links KachelX 32577 KachelY + 1 23875 -0.01831190 0.76484932 -1.049195 43.822638
    Unten rechts KachelX + 1 32578 KachelY + 1 23875 -0.01821602 0.76484932 -1.043701 43.822638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76491849-0.76484932) × R
    6.91699999999518e-05 × 6371000     		dl = 440.682069999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76491849-0.76484932) × R
    6.91699999999518e-05 × 6371000     		dr = 440.682069999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01831190--0.01821602) × cos(0.76491849) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.721438803730908 × 6371000     		do = 440.691960988453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01831190--0.01821602) × cos(0.76484932) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.721486700721856 × 6371000     		du = 440.721218936261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76491849)-sin(0.76484932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721438803730908-0.721486700721856)×R²
    abs(-0.01821602--0.01831190)×4.7896990947871e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.7896990947871e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.7896990947871e-05×40589641000000     		ar = 194211.492404544m²