Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32574 / 23886
↖ ↑ ↗
← N 43.779027°
W  1.065674°		 ← 441.04 m → N 43.779027°
W  1.060180°		 →
↑
441.06 m
↓
↑
441.06 m
↓
N 43.775060°
W  1.065674°		 ← 441.07 m →
194 535 m²		 N 43.775060°
W  1.060180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497047424316406 y=0.364479064941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497047424316406 × 216)
    floor (0.497047424316406 × 65536)
    floor (32574.5)     		tx = 32574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364479064941406 × 216)
    floor (0.364479064941406 × 65536)
    floor (23886.5)     		ty = 23886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32574 / 23886 ti = "16/32574/23886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32574/23886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32574 ÷ 216
    32574 ÷ 65536     		x = 0.497039794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23886 ÷ 216
    23886 ÷ 65536     		y = 0.364471435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497039794921875 × 2 - 1) × π
    -0.00592041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01859952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364471435546875 × 2 - 1) × π
    0.27105712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.851551084850678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01859952} λ = -0.01859952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.851551084850678))-π/2
    2×atan(2.34327865860597)-π/2
    2×1.16744224232132-π/2
    2.33488448464264-1.57079632675     		φ = 0.76408816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01859952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.065674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76408816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.779027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32574 KachelY 23886 -0.01859952 0.76408816 -1.065674 43.779027
    Oben rechts KachelX + 1 32575 KachelY 23886 -0.01850364 0.76408816 -1.060180 43.779027
    Unten links KachelX 32574 KachelY + 1 23887 -0.01859952 0.76401893 -1.065674 43.775060
    Unten rechts KachelX + 1 32575 KachelY + 1 23887 -0.01850364 0.76401893 -1.060180 43.775060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76408816-0.76401893) × R
    6.92300000000312e-05 × 6371000     		dl = 441.064330000199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76408816-0.76401893) × R
    6.92300000000312e-05 × 6371000     		dr = 441.064330000199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01859952--0.01850364) × cos(0.76408816) × R
    9.5880000000003e-05 × 0.72201354038842 × 6371000     		do = 441.04303972632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01859952--0.01850364) × cos(0.76401893) × R
    9.5880000000003e-05 × 0.722061437436161 × 6371000     		du = 441.07229770882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76408816)-sin(0.76401893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72201354038842-0.722061437436161)×R²
    abs(-0.01850364--0.01859952)×4.78970477406637e-05×R²
    9.5880000000003e-05×4.78970477406637e-05×6371000²
    9.5880000000003e-05×4.78970477406637e-05×40589641000000     		ar = 194534.805221985m²