Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32572 / 22390
↖ ↑ ↗
← N 49.418121°
W  1.076660°		 ← 397.34 m → N 49.418121°
W  1.071167°		 →
↑
397.42 m
↓
↑
397.42 m
↓
N 49.414547°
W  1.076660°		 ← 397.37 m →
157 917 m²		 N 49.414547°
W  1.071167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497016906738281 y=0.341651916503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497016906738281 × 216)
    floor (0.497016906738281 × 65536)
    floor (32572.5)     		tx = 32572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341651916503906 × 216)
    floor (0.341651916503906 × 65536)
    floor (22390.5)     		ty = 22390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32572 / 22390 ti = "16/32572/22390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32572/22390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32572 ÷ 216
    32572 ÷ 65536     		x = 0.49700927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22390 ÷ 216
    22390 ÷ 65536     		y = 0.341644287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49700927734375 × 2 - 1) × π
    -0.0059814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01879126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341644287109375 × 2 - 1) × π
    0.31671142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.994978288513885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01879126} λ = -0.01879126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.994978288513885))-π/2
    2×atan(2.70466561833196)-π/2
    2×1.2166526215755-π/2
    2.43330524315099-1.57079632675     		φ = 0.86250892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01879126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.076660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86250892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.418121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32572 KachelY 22390 -0.01879126 0.86250892 -1.076660 49.418121
    Oben rechts KachelX + 1 32573 KachelY 22390 -0.01869539 0.86250892 -1.071167 49.418121
    Unten links KachelX 32572 KachelY + 1 22391 -0.01879126 0.86244654 -1.076660 49.414547
    Unten rechts KachelX + 1 32573 KachelY + 1 22391 -0.01869539 0.86244654 -1.071167 49.414547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86250892-0.86244654) × R
    6.23800000000285e-05 × 6371000     		dl = 397.422980000182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86250892-0.86244654) × R
    6.23800000000285e-05 × 6371000     		dr = 397.422980000182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01879126--0.01869539) × cos(0.86250892) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.650534050354578 × 6371000     		do = 397.338241925146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01879126--0.01869539) × cos(0.86244654) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.650581425269685 × 6371000     		du = 397.367177943898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86250892)-sin(0.86244654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650534050354578-0.650581425269685)×R²
    abs(-0.01869539--0.01879126)×4.7374915106313e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.7374915106313e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.7374915106313e-05×40589641000000     		ar = 157917.098144374m²