Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32571 / 23871
↖ ↑ ↗
← N 43.838489°
W  1.082153°		 ← 440.60 m → N 43.838489°
W  1.076660°		 →
↑
440.55 m
↓
↑
440.55 m
↓
N 43.834527°
W  1.082153°		 ← 440.63 m →
194 117 m²		 N 43.834527°
W  1.076660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497001647949219 y=0.364250183105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497001647949219 × 216)
    floor (0.497001647949219 × 65536)
    floor (32571.5)     		tx = 32571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364250183105469 × 216)
    floor (0.364250183105469 × 65536)
    floor (23871.5)     		ty = 23871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32571 / 23871 ti = "16/32571/23871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32571/23871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32571 ÷ 216
    32571 ÷ 65536     		x = 0.496994018554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23871 ÷ 216
    23871 ÷ 65536     		y = 0.364242553710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496994018554688 × 2 - 1) × π
    -0.006011962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01888714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364242553710938 × 2 - 1) × π
    0.271514892578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.852989191839279
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01888714} λ = -0.01888714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.852989191839279))-π/2
    2×atan(2.34665096831103)-π/2
    2×1.1679611503898-π/2
    2.33592230077961-1.57079632675     		φ = 0.76512597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01888714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.082153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76512597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.838489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32571 KachelY 23871 -0.01888714 0.76512597 -1.082153 43.838489
    Oben rechts KachelX + 1 32572 KachelY 23871 -0.01879126 0.76512597 -1.076660 43.838489
    Unten links KachelX 32571 KachelY + 1 23872 -0.01888714 0.76505682 -1.082153 43.834527
    Unten rechts KachelX + 1 32572 KachelY + 1 23872 -0.01879126 0.76505682 -1.076660 43.834527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76512597-0.76505682) × R
    6.91500000000733e-05 × 6371000     		dl = 440.554650000467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76512597-0.76505682) × R
    6.91500000000733e-05 × 6371000     		dr = 440.554650000467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01888714--0.01879126) × cos(0.76512597) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.721295112827521 × 6371000     		do = 440.604187187456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01888714--0.01879126) × cos(0.76505682) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.721343006319873 × 6371000     		du = 440.633442998142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76512597)-sin(0.76505682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721295112827521-0.721343006319873)×R²
    abs(-0.01879126--0.01888714)×4.78934923519025e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.78934923519025e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.78934923519025e-05×40589641000000     		ar = 194116.667943904m²