Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32570 / 23969
↖ ↑ ↗
← N 43.448931°
W  1.087646°		 ← 443.42 m → N 43.448931°
W  1.082153°		 →
↑
443.42 m
↓
↑
443.42 m
↓
N 43.444943°
W  1.087646°		 ← 443.45 m →
196 630 m²		 N 43.444943°
W  1.082153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496986389160156 y=0.365745544433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496986389160156 × 216)
    floor (0.496986389160156 × 65536)
    floor (32570.5)     		tx = 32570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365745544433594 × 216)
    floor (0.365745544433594 × 65536)
    floor (23969.5)     		ty = 23969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32570 / 23969 ti = "16/32570/23969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32570/23969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32570 ÷ 216
    32570 ÷ 65536     		x = 0.496978759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23969 ÷ 216
    23969 ÷ 65536     		y = 0.365737915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496978759765625 × 2 - 1) × π
    -0.00604248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01898301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365737915039062 × 2 - 1) × π
    0.268524169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.843593559513748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01898301} λ = -0.01898301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.843593559513748))-π/2
    2×atan(2.32470595369886)-π/2
    2×1.16456161508724-π/2
    2.32912323017447-1.57079632675     		φ = 0.75832690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01898301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.087646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75832690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.448931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32570 KachelY 23969 -0.01898301 0.75832690 -1.087646 43.448931
    Oben rechts KachelX + 1 32571 KachelY 23969 -0.01888714 0.75832690 -1.082153 43.448931
    Unten links KachelX 32570 KachelY + 1 23970 -0.01898301 0.75825730 -1.087646 43.444943
    Unten rechts KachelX + 1 32571 KachelY + 1 23970 -0.01888714 0.75825730 -1.082153 43.444943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75832690-0.75825730) × R
    6.9600000000003e-05 × 6371000     		dl = 443.421600000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75832690-0.75825730) × R
    6.9600000000003e-05 × 6371000     		dr = 443.421600000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01898301--0.01888714) × cos(0.75832690) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.725987630169668 × 6371000     		do = 443.424365678922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01898301--0.01888714) × cos(0.75825730) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.726035492871207 × 6371000     		du = 443.453599631662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75832690)-sin(0.75825730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725987630169668-0.726035492871207)×R²
    abs(-0.01888714--0.01898301)×4.78627015396693e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.78627015396693e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.78627015396693e-05×40589641000000     		ar = 196630.423270498m²