Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32568 / 22968
↖ ↑ ↗
← N 47.309034°
W  1.098633°		 ← 414.14 m → N 47.309034°
W  1.093140°		 →
↑
414.18 m
↓
↑
414.18 m
↓
N 47.305309°
W  1.098633°		 ← 414.17 m →
171 534 m²		 N 47.305309°
W  1.093140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496955871582031 y=0.350471496582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496955871582031 × 216)
    floor (0.496955871582031 × 65536)
    floor (32568.5)     		tx = 32568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350471496582031 × 216)
    floor (0.350471496582031 × 65536)
    floor (22968.5)     		ty = 22968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32568 / 22968 ti = "16/32568/22968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32568/22968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32568 ÷ 216
    32568 ÷ 65536     		x = 0.4969482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22968 ÷ 216
    22968 ÷ 65536     		y = 0.3504638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4969482421875 × 2 - 1) × π
    -0.006103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01917476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3504638671875 × 2 - 1) × π
    0.299072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.939563232553101
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01917476} λ = -0.01917476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.939563232553101))-π/2
    2×atan(2.55886354592399)-π/2
    2×1.19824737016932-π/2
    2.39649474033865-1.57079632675     		φ = 0.82569841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01917476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.098633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82569841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.309034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32568 KachelY 22968 -0.01917476 0.82569841 -1.098633 47.309034
    Oben rechts KachelX + 1 32569 KachelY 22968 -0.01907889 0.82569841 -1.093140 47.309034
    Unten links KachelX 32568 KachelY + 1 22969 -0.01917476 0.82563340 -1.098633 47.305309
    Unten rechts KachelX + 1 32569 KachelY + 1 22969 -0.01907889 0.82563340 -1.093140 47.305309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82569841-0.82563340) × R
    6.5010000000032e-05 × 6371000     		dl = 414.178710000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82569841-0.82563340) × R
    6.5010000000032e-05 × 6371000     		dr = 414.178710000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01917476--0.01907889) × cos(0.82569841) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.678043784656874 × 6371000     		do = 414.140851192923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01917476--0.01907889) × cos(0.82563340) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.678091566972659 × 6371000     		du = 414.170036047027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82569841)-sin(0.82563340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678043784656874-0.678091566972659)×R²
    abs(-0.01907889--0.01917476)×4.7782315785283e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7782315785283e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7782315785283e-05×40589641000000     		ar = 171534.367438604m²