Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32568 / 22952
↖ ↑ ↗
← N 47.368594°
W  1.098633°		 ← 413.67 m → N 47.368594°
W  1.093140°		 →
↑
413.67 m
↓
↑
413.67 m
↓
N 47.364874°
W  1.098633°		 ← 413.70 m →
171 130 m²		 N 47.364874°
W  1.093140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496955871582031 y=0.350227355957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496955871582031 × 216)
    floor (0.496955871582031 × 65536)
    floor (32568.5)     		tx = 32568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350227355957031 × 216)
    floor (0.350227355957031 × 65536)
    floor (22952.5)     		ty = 22952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32568 / 22952 ti = "16/32568/22952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32568/22952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32568 ÷ 216
    32568 ÷ 65536     		x = 0.4969482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22952 ÷ 216
    22952 ÷ 65536     		y = 0.3502197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4969482421875 × 2 - 1) × π
    -0.006103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01917476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3502197265625 × 2 - 1) × π
    0.299560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.941097213340942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01917476} λ = -0.01917476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.941097213340942))-π/2
    2×atan(2.56279180560929)-π/2
    2×1.19876713007111-π/2
    2.39753426014222-1.57079632675     		φ = 0.82673793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01917476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.098633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82673793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.368594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32568 KachelY 22952 -0.01917476 0.82673793 -1.098633 47.368594
    Oben rechts KachelX + 1 32569 KachelY 22952 -0.01907889 0.82673793 -1.093140 47.368594
    Unten links KachelX 32568 KachelY + 1 22953 -0.01917476 0.82667300 -1.098633 47.364874
    Unten rechts KachelX + 1 32569 KachelY + 1 22953 -0.01907889 0.82667300 -1.093140 47.364874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82673793-0.82667300) × R
    6.49299999999631e-05 × 6371000     		dl = 413.669029999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82673793-0.82667300) × R
    6.49299999999631e-05 × 6371000     		dr = 413.669029999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01917476--0.01907889) × cos(0.82673793) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.677279348882573 × 6371000     		do = 413.67394317103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01917476--0.01907889) × cos(0.82667300) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.677327118141245 × 6371000     		du = 413.703120050008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82673793)-sin(0.82667300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677279348882573-0.677327118141245)×R²
    abs(-0.01907889--0.01917476)×4.77692586716705e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77692586716705e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77692586716705e-05×40589641000000     		ar = 171130.133653357m²