Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32568 / 22776
↖ ↑ ↗
← N 48.019324°
W  1.098633°		 ← 408.54 m → N 48.019324°
W  1.093140°		 →
↑
408.57 m
↓
↑
408.57 m
↓
N 48.015650°
W  1.098633°		 ← 408.57 m →
166 926 m²		 N 48.015650°
W  1.093140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496955871582031 y=0.347541809082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496955871582031 × 216)
    floor (0.496955871582031 × 65536)
    floor (32568.5)     		tx = 32568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347541809082031 × 216)
    floor (0.347541809082031 × 65536)
    floor (22776.5)     		ty = 22776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32568 / 22776 ti = "16/32568/22776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32568/22776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32568 ÷ 216
    32568 ÷ 65536     		x = 0.4969482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22776 ÷ 216
    22776 ÷ 65536     		y = 0.3475341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4969482421875 × 2 - 1) × π
    -0.006103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01917476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3475341796875 × 2 - 1) × π
    0.304931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.957971002007202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01917476} λ = -0.01917476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.957971002007202))-π/2
    2×atan(2.60640271884558)-π/2
    2×1.20444581919195-π/2
    2.4088916383839-1.57079632675     		φ = 0.83809531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01917476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.098633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83809531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.019324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32568 KachelY 22776 -0.01917476 0.83809531 -1.098633 48.019324
    Oben rechts KachelX + 1 32569 KachelY 22776 -0.01907889 0.83809531 -1.093140 48.019324
    Unten links KachelX 32568 KachelY + 1 22777 -0.01917476 0.83803118 -1.098633 48.015650
    Unten rechts KachelX + 1 32569 KachelY + 1 22777 -0.01907889 0.83803118 -1.093140 48.015650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83809531-0.83803118) × R
    6.41300000000511e-05 × 6371000     		dl = 408.572230000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83809531-0.83803118) × R
    6.41300000000511e-05 × 6371000     		dr = 408.572230000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01917476--0.01907889) × cos(0.83809531) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.668879928562778 × 6371000     		do = 408.54367996461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01917476--0.01907889) × cos(0.83803118) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.668927599534925 × 6371000     		du = 408.572796811381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83809531)-sin(0.83803118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668879928562778-0.668927599534925)×R²
    abs(-0.01907889--0.01917476)×4.76709721461965e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76709721461965e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76709721461965e-05×40589641000000     		ar = 166925.550600407m²