Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32564 / 23859
↖ ↑ ↗
← N 43.886016°
W  1.120606°		 ← 440.25 m → N 43.886016°
W  1.115112°		 →
↑
440.24 m
↓
↑
440.24 m
↓
N 43.882057°
W  1.120606°		 ← 440.28 m →
193 822 m²		 N 43.882057°
W  1.115112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496894836425781 y=0.364067077636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496894836425781 × 216)
    floor (0.496894836425781 × 65536)
    floor (32564.5)     		tx = 32564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364067077636719 × 216)
    floor (0.364067077636719 × 65536)
    floor (23859.5)     		ty = 23859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32564 / 23859 ti = "16/32564/23859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32564/23859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32564 ÷ 216
    32564 ÷ 65536     		x = 0.49688720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23859 ÷ 216
    23859 ÷ 65536     		y = 0.364059448242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49688720703125 × 2 - 1) × π
    -0.0062255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01955826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364059448242188 × 2 - 1) × π
    0.271881103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.854139677430161
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01955826} λ = -0.01955826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.854139677430161))-π/2
    2×atan(2.34935231006632)-π/2
    2×1.16837590488542-π/2
    2.33675180977084-1.57079632675     		φ = 0.76595548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01955826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.120606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76595548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.886016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32564 KachelY 23859 -0.01955826 0.76595548 -1.120606 43.886016
    Oben rechts KachelX + 1 32565 KachelY 23859 -0.01946238 0.76595548 -1.115112 43.886016
    Unten links KachelX 32564 KachelY + 1 23860 -0.01955826 0.76588638 -1.120606 43.882057
    Unten rechts KachelX + 1 32565 KachelY + 1 23860 -0.01946238 0.76588638 -1.115112 43.882057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76595548-0.76588638) × R
    6.91000000000441e-05 × 6371000     		dl = 440.236100000281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76595548-0.76588638) × R
    6.91000000000441e-05 × 6371000     		dr = 440.236100000281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01955826--0.01946238) × cos(0.76595548) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.72072032299579 × 6371000     		do = 440.253075968054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01955826--0.01946238) × cos(0.76588638) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.720768223188159 × 6371000     		du = 440.282335871455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76595548)-sin(0.76588638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72072032299579-0.720768223188159)×R²
    abs(-0.01946238--0.01955826)×4.79001923693323e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.79001923693323e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.79001923693323e-05×40589641000000     		ar = 193821.737887317m²