Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32563 / 22434
↖ ↑ ↗
← N 49.260635°
W  1.126099°		 ← 398.61 m → N 49.260635°
W  1.120606°		 →
↑
398.70 m
↓
↑
398.70 m
↓
N 49.257050°
W  1.126099°		 ← 398.64 m →
158 931 m²		 N 49.257050°
W  1.120606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496879577636719 y=0.342323303222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496879577636719 × 216)
    floor (0.496879577636719 × 65536)
    floor (32563.5)     		tx = 32563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342323303222656 × 216)
    floor (0.342323303222656 × 65536)
    floor (22434.5)     		ty = 22434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32563 / 22434 ti = "16/32563/22434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32563/22434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32563 ÷ 216
    32563 ÷ 65536     		x = 0.496871948242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22434 ÷ 216
    22434 ÷ 65536     		y = 0.342315673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496871948242188 × 2 - 1) × π
    -0.006256103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01965413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342315673828125 × 2 - 1) × π
    0.31536865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.990759841347321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01965413} λ = -0.01965413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.990759841347321))-π/2
    2×atan(2.69328016067755)-π/2
    2×1.21527830117738-π/2
    2.43055660235477-1.57079632675     		φ = 0.85976028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01965413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.126099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85976028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.260635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32563 KachelY 22434 -0.01965413 0.85976028 -1.126099 49.260635
    Oben rechts KachelX + 1 32564 KachelY 22434 -0.01955826 0.85976028 -1.120606 49.260635
    Unten links KachelX 32563 KachelY + 1 22435 -0.01965413 0.85969770 -1.126099 49.257050
    Unten rechts KachelX + 1 32564 KachelY + 1 22435 -0.01955826 0.85969770 -1.120606 49.257050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85976028-0.85969770) × R
    6.25800000000343e-05 × 6371000     		dl = 398.697180000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85976028-0.85969770) × R
    6.25800000000343e-05 × 6371000     		dr = 398.697180000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01965413--0.01955826) × cos(0.85976028) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.652619119435108 × 6371000     		do = 398.611776619125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01965413--0.01955826) × cos(0.85969770) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.652666534155732 × 6371000     		du = 398.6407369506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85976028)-sin(0.85969770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652619119435108-0.652666534155732)×R²
    abs(-0.01955826--0.01965413)×4.74147206240838e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74147206240838e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74147206240838e-05×40589641000000     		ar = 158931.164505973m²