Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32554 / 23830
↖ ↑ ↗
← N 44.000718°
W  1.175537°		 ← 439.36 m → N 44.000718°
W  1.170044°		 →
↑
439.41 m
↓
↑
439.41 m
↓
N 43.996766°
W  1.175537°		 ← 439.39 m →
193 064 m²		 N 43.996766°
W  1.170044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496742248535156 y=0.363624572753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496742248535156 × 216)
    floor (0.496742248535156 × 65536)
    floor (32554.5)     		tx = 32554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363624572753906 × 216)
    floor (0.363624572753906 × 65536)
    floor (23830.5)     		ty = 23830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32554 / 23830 ti = "16/32554/23830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32554/23830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32554 ÷ 216
    32554 ÷ 65536     		x = 0.496734619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23830 ÷ 216
    23830 ÷ 65536     		y = 0.363616943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496734619140625 × 2 - 1) × π
    -0.00653076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02051699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363616943359375 × 2 - 1) × π
    0.27276611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.856920017608124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02051699} λ = -0.02051699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.856920017608124))-π/2
    2×atan(2.35589339769685)-π/2
    2×1.16937686311325-π/2
    2.3387537262265-1.57079632675     		φ = 0.76795740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02051699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.175537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76795740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.000718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32554 KachelY 23830 -0.02051699 0.76795740 -1.175537 44.000718
    Oben rechts KachelX + 1 32555 KachelY 23830 -0.02042112 0.76795740 -1.170044 44.000718
    Unten links KachelX 32554 KachelY + 1 23831 -0.02051699 0.76788843 -1.175537 43.996766
    Unten rechts KachelX + 1 32555 KachelY + 1 23831 -0.02042112 0.76788843 -1.170044 43.996766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76795740-0.76788843) × R
    6.8970000000057e-05 × 6371000     		dl = 439.407870000363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76795740-0.76788843) × R
    6.8970000000057e-05 × 6371000     		dr = 439.407870000363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02051699--0.02042112) × cos(0.76795740) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.719331096822375 × 6371000     		do = 439.358636519783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02051699--0.02042112) × cos(0.76788843) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.719379006320871 × 6371000     		du = 439.387899055531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76795740)-sin(0.76788843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719331096822375-0.719379006320871)×R²
    abs(-0.02042112--0.02051699)×4.79094984955353e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79094984955353e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79094984955353e-05×40589641000000     		ar = 193064.071810084m²