Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32551 / 23827
↖ ↑ ↗
← N 44.012571°
W  1.192016°		 ← 439.27 m → N 44.012571°
W  1.186523°		 →
↑
439.28 m
↓
↑
439.28 m
↓
N 44.008620°
W  1.192016°		 ← 439.30 m →
192 970 m²		 N 44.008620°
W  1.186523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496696472167969 y=0.363578796386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496696472167969 × 216)
    floor (0.496696472167969 × 65536)
    floor (32551.5)     		tx = 32551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363578796386719 × 216)
    floor (0.363578796386719 × 65536)
    floor (23827.5)     		ty = 23827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32551 / 23827 ti = "16/32551/23827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32551/23827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32551 ÷ 216
    32551 ÷ 65536     		x = 0.496688842773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23827 ÷ 216
    23827 ÷ 65536     		y = 0.363571166992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496688842773438 × 2 - 1) × π
    -0.006622314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02080461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363571166992188 × 2 - 1) × π
    0.272857666015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.857207639005844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02080461} λ = -0.02080461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.857207639005844))-π/2
    2×atan(2.35657110050502)-π/2
    2×1.16948030028654-π/2
    2.33896060057307-1.57079632675     		φ = 0.76816427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02080461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.192016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76816427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.012571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32551 KachelY 23827 -0.02080461 0.76816427 -1.192016 44.012571
    Oben rechts KachelX + 1 32552 KachelY 23827 -0.02070874 0.76816427 -1.186523 44.012571
    Unten links KachelX 32551 KachelY + 1 23828 -0.02080461 0.76809532 -1.192016 44.008620
    Unten rechts KachelX + 1 32552 KachelY + 1 23828 -0.02070874 0.76809532 -1.186523 44.008620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76816427-0.76809532) × R
    6.89499999999565e-05 × 6371000     		dl = 439.280449999723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76816427-0.76809532) × R
    6.89499999999565e-05 × 6371000     		dr = 439.280449999723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02080461--0.02070874) × cos(0.76816427) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.7191873755899 × 6371000     		do = 439.270853348714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02080461--0.02070874) × cos(0.76809532) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.71923528145567 × 6371000     		du = 439.300113665637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76816427)-sin(0.76809532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7191873755899-0.71923528145567)×R²
    abs(-0.02070874--0.02080461)×4.79058657698594e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.79058657698594e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.79058657698594e-05×40589641000000     		ar = 192969.524950126m²