Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32550 / 22758
↖ ↑ ↗
← N 48.085419°
W  1.197510°		 ← 408.06 m → N 48.085419°
W  1.192016°		 →
↑
408.06 m
↓
↑
408.06 m
↓
N 48.081749°
W  1.197510°		 ← 408.09 m →
166 521 m²		 N 48.081749°
W  1.192016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496681213378906 y=0.347267150878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496681213378906 × 216)
    floor (0.496681213378906 × 65536)
    floor (32550.5)     		tx = 32550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347267150878906 × 216)
    floor (0.347267150878906 × 65536)
    floor (22758.5)     		ty = 22758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32550 / 22758 ti = "16/32550/22758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32550/22758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32550 ÷ 216
    32550 ÷ 65536     		x = 0.496673583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22758 ÷ 216
    22758 ÷ 65536     		y = 0.347259521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496673583984375 × 2 - 1) × π
    -0.00665283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02090049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347259521484375 × 2 - 1) × π
    0.30548095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.959696730393524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02090049} λ = -0.02090049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.959696730393524))-π/2
    2×atan(2.61090454535132)-π/2
    2×1.20502260155945-π/2
    2.4100452031189-1.57079632675     		φ = 0.83924888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02090049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.197510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83924888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.085419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32550 KachelY 22758 -0.02090049 0.83924888 -1.197510 48.085419
    Oben rechts KachelX + 1 32551 KachelY 22758 -0.02080461 0.83924888 -1.192016 48.085419
    Unten links KachelX 32550 KachelY + 1 22759 -0.02090049 0.83918483 -1.197510 48.081749
    Unten rechts KachelX + 1 32551 KachelY + 1 22759 -0.02080461 0.83918483 -1.192016 48.081749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83924888-0.83918483) × R
    6.40499999999822e-05 × 6371000     		dl = 408.062549999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83924888-0.83918483) × R
    6.40499999999822e-05 × 6371000     		dr = 408.062549999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02090049--0.02080461) × cos(0.83924888) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.66802195384399 × 6371000     		do = 408.062199178091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02090049--0.02080461) × cos(0.83918483) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.668069614740966 × 6371000     		du = 408.091312907547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83924888)-sin(0.83918483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66802195384399-0.668069614740966)×R²
    abs(-0.02080461--0.02090049)×4.7660896976387e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.7660896976387e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.7660896976387e-05×40589641000000     		ar = 166520.841723208m²