Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32548 / 23845
↖ ↑ ↗
← N 43.941417°
W  1.208496°		 ← 439.84 m → N 43.941417°
W  1.203003°		 →
↑
439.85 m
↓
↑
439.85 m
↓
N 43.937462°
W  1.208496°		 ← 439.87 m →
193 473 m²		 N 43.937462°
W  1.203003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496650695800781 y=0.363853454589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496650695800781 × 216)
    floor (0.496650695800781 × 65536)
    floor (32548.5)     		tx = 32548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363853454589844 × 216)
    floor (0.363853454589844 × 65536)
    floor (23845.5)     		ty = 23845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32548 / 23845 ti = "16/32548/23845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32548/23845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32548 ÷ 216
    32548 ÷ 65536     		x = 0.49664306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23845 ÷ 216
    23845 ÷ 65536     		y = 0.363845825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49664306640625 × 2 - 1) × π
    -0.0067138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02109224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363845825195312 × 2 - 1) × π
    0.272308349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.855481910619522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02109224} λ = -0.02109224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.855481910619522))-π/2
    2×atan(2.3525078059423)-π/2
    2×1.16885936721884-π/2
    2.33771873443768-1.57079632675     		φ = 0.76692241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02109224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.208496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76692241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.941417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32548 KachelY 23845 -0.02109224 0.76692241 -1.208496 43.941417
    Oben rechts KachelX + 1 32549 KachelY 23845 -0.02099636 0.76692241 -1.203003 43.941417
    Unten links KachelX 32548 KachelY + 1 23846 -0.02109224 0.76685337 -1.208496 43.937462
    Unten rechts KachelX + 1 32549 KachelY + 1 23846 -0.02099636 0.76685337 -1.203003 43.937462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76692241-0.76685337) × R
    6.90400000000757e-05 × 6371000     		dl = 439.853840000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76692241-0.76685337) × R
    6.90400000000757e-05 × 6371000     		dr = 439.853840000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02109224--0.02099636) × cos(0.76692241) × R
    9.5880000000003e-05 × 0.720049685213602 × 6371000     		do = 439.843415886277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02109224--0.02099636) × cos(0.76685337) × R
    9.5880000000003e-05 × 0.720097591907635 × 6371000     		du = 439.872679761229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76692241)-sin(0.76685337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720049685213602-0.720097591907635)×R²
    abs(-0.02099636--0.02109224)×4.79066940328732e-05×R²
    9.5880000000003e-05×4.79066940328732e-05×6371000²
    9.5880000000003e-05×4.79066940328732e-05×40589641000000     		ar = 193473.251467457m²