Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32547 / 23843
↖ ↑ ↗
← N 43.949328°
W  1.213989°		 ← 439.74 m → N 43.949328°
W  1.208496°		 →
↑
439.79 m
↓
↑
439.79 m
↓
N 43.945372°
W  1.213989°		 ← 439.77 m →
193 399 m²		 N 43.945372°
W  1.208496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496635437011719 y=0.363822937011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496635437011719 × 216)
    floor (0.496635437011719 × 65536)
    floor (32547.5)     		tx = 32547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363822937011719 × 216)
    floor (0.363822937011719 × 65536)
    floor (23843.5)     		ty = 23843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32547 / 23843 ti = "16/32547/23843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32547/23843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32547 ÷ 216
    32547 ÷ 65536     		x = 0.496627807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23843 ÷ 216
    23843 ÷ 65536     		y = 0.363815307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496627807617188 × 2 - 1) × π
    -0.006744384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02118811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363815307617188 × 2 - 1) × π
    0.272369384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.855673658218002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02118811} λ = -0.02118811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.855673658218002))-π/2
    2×atan(2.35295893691475)-π/2
    2×1.16892839652519-π/2
    2.33785679305038-1.57079632675     		φ = 0.76706047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02118811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.213989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76706047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.949328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32547 KachelY 23843 -0.02118811 0.76706047 -1.213989 43.949328
    Oben rechts KachelX + 1 32548 KachelY 23843 -0.02109224 0.76706047 -1.208496 43.949328
    Unten links KachelX 32547 KachelY + 1 23844 -0.02118811 0.76699144 -1.213989 43.945372
    Unten rechts KachelX + 1 32548 KachelY + 1 23844 -0.02109224 0.76699144 -1.208496 43.945372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76706047-0.76699144) × R
    6.90300000000255e-05 × 6371000     		dl = 439.790130000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76706047-0.76699144) × R
    6.90300000000255e-05 × 6371000     		dr = 439.790130000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02118811--0.02109224) × cos(0.76706047) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.719953875409806 × 6371000     		do = 439.739022064403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02118811--0.02109224) × cos(0.76699144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.720001782027159 × 6371000     		du = 439.768282840385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76706047)-sin(0.76699144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719953875409806-0.720001782027159)×R²
    abs(-0.02109224--0.02118811)×4.79066173530995e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79066173530995e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79066173530995e-05×40589641000000     		ar = 193399.316056903m²