Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32546 / 22753
↖ ↑ ↗
← N 48.103763°
W  1.219482°		 ← 407.87 m → N 48.103763°
W  1.213989°		 →
↑
407.94 m
↓
↑
407.94 m
↓
N 48.100095°
W  1.219482°		 ← 407.90 m →
166 392 m²		 N 48.100095°
W  1.213989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496620178222656 y=0.347190856933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496620178222656 × 216)
    floor (0.496620178222656 × 65536)
    floor (32546.5)     		tx = 32546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347190856933594 × 216)
    floor (0.347190856933594 × 65536)
    floor (22753.5)     		ty = 22753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32546 / 22753 ti = "16/32546/22753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32546/22753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32546 ÷ 216
    32546 ÷ 65536     		x = 0.496612548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22753 ÷ 216
    22753 ÷ 65536     		y = 0.347183227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496612548828125 × 2 - 1) × π
    -0.00677490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02128398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347183227539062 × 2 - 1) × π
    0.305633544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.960176099389725
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02128398} λ = -0.02128398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.960176099389725))-π/2
    2×atan(2.61215643207626)-π/2
    2×1.2051826875096-π/2
    2.41036537501919-1.57079632675     		φ = 0.83956905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02128398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.219482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83956905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.103763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32546 KachelY 22753 -0.02128398 0.83956905 -1.219482 48.103763
    Oben rechts KachelX + 1 32547 KachelY 22753 -0.02118811 0.83956905 -1.213989 48.103763
    Unten links KachelX 32546 KachelY + 1 22754 -0.02128398 0.83950502 -1.219482 48.100095
    Unten rechts KachelX + 1 32547 KachelY + 1 22754 -0.02118811 0.83950502 -1.213989 48.100095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83956905-0.83950502) × R
    6.40299999999927e-05 × 6371000     		dl = 407.935129999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83956905-0.83950502) × R
    6.40299999999927e-05 × 6371000     		dr = 407.935129999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02128398--0.02118811) × cos(0.83956905) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.66778366780403 × 6371000     		do = 407.87409730045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02128398--0.02118811) × cos(0.83950502) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.66783132751185 × 6371000     		du = 407.903207267109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83956905)-sin(0.83950502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66778366780403-0.66783132751185)×R²
    abs(-0.02118811--0.02128398)×4.76597078208352e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.76597078208352e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.76597078208352e-05×40589641000000     		ar = 166392.110451668m²