Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32545 / 23841
↖ ↑ ↗
← N 43.957237°
W  1.224976°		 ← 439.73 m → N 43.957237°
W  1.219482°		 →
↑
439.73 m
↓
↑
439.73 m
↓
N 43.953282°
W  1.224976°		 ← 439.76 m →
193 366 m²		 N 43.953282°
W  1.219482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496604919433594 y=0.363792419433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496604919433594 × 216)
    floor (0.496604919433594 × 65536)
    floor (32545.5)     		tx = 32545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363792419433594 × 216)
    floor (0.363792419433594 × 65536)
    floor (23841.5)     		ty = 23841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32545 / 23841 ti = "16/32545/23841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32545/23841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32545 ÷ 216
    32545 ÷ 65536     		x = 0.496597290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23841 ÷ 216
    23841 ÷ 65536     		y = 0.363784790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496597290039062 × 2 - 1) × π
    -0.006805419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02137986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363784790039062 × 2 - 1) × π
    0.272430419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.855865405816483
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02137986} λ = -0.02137986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.855865405816483))-π/2
    2×atan(2.35341015439878)-π/2
    2×1.16899741664594-π/2
    2.33799483329187-1.57079632675     		φ = 0.76719851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02137986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.224976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76719851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.957237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32545 KachelY 23841 -0.02137986 0.76719851 -1.224976 43.957237
    Oben rechts KachelX + 1 32546 KachelY 23841 -0.02128398 0.76719851 -1.219482 43.957237
    Unten links KachelX 32545 KachelY + 1 23842 -0.02137986 0.76712949 -1.224976 43.953282
    Unten rechts KachelX + 1 32546 KachelY + 1 23842 -0.02128398 0.76712949 -1.219482 43.953282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76719851-0.76712949) × R
    6.90199999999752e-05 × 6371000     		dl = 439.726419999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76719851-0.76712949) × R
    6.90199999999752e-05 × 6371000     		dr = 439.726419999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02137986--0.02128398) × cos(0.76719851) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.719858065765709 × 6371000     		do = 439.726364862919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02137986--0.02128398) × cos(0.76712949) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.719905972302487 × 6371000     		du = 439.755628641811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76719851)-sin(0.76712949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719858065765709-0.719905972302487)×R²
    abs(-0.02128398--0.02137986)×4.79065367782194e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.79065367782194e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.79065367782194e-05×40589641000000     		ar = 193365.734305825m²