Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32536 / 23833
↖ ↑ ↗
← N 43.988862°
W  1.274414°		 ← 439.45 m → N 43.988862°
W  1.268921°		 →
↑
439.47 m
↓
↑
439.47 m
↓
N 43.984910°
W  1.274414°		 ← 439.48 m →
193 131 m²		 N 43.984910°
W  1.268921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496467590332031 y=0.363670349121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496467590332031 × 216)
    floor (0.496467590332031 × 65536)
    floor (32536.5)     		tx = 32536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363670349121094 × 216)
    floor (0.363670349121094 × 65536)
    floor (23833.5)     		ty = 23833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32536 / 23833 ti = "16/32536/23833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32536/23833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32536 ÷ 216
    32536 ÷ 65536     		x = 0.4964599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23833 ÷ 216
    23833 ÷ 65536     		y = 0.363662719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4964599609375 × 2 - 1) × π
    -0.007080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02224272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363662719726562 × 2 - 1) × π
    0.272674560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.856632396210403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02224272} λ = -0.02224272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.856632396210403))-π/2
    2×atan(2.35521588978248)-π/2
    2×1.16927340527103-π/2
    2.33854681054206-1.57079632675     		φ = 0.76775048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02224272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.274414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76775048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.988862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32536 KachelY 23833 -0.02224272 0.76775048 -1.274414 43.988862
    Oben rechts KachelX + 1 32537 KachelY 23833 -0.02214685 0.76775048 -1.268921 43.988862
    Unten links KachelX 32536 KachelY + 1 23834 -0.02224272 0.76768150 -1.274414 43.984910
    Unten rechts KachelX + 1 32537 KachelY + 1 23834 -0.02214685 0.76768150 -1.268921 43.984910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76775048-0.76768150) × R
    6.89799999999963e-05 × 6371000     		dl = 439.471579999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76775048-0.76768150) × R
    6.89799999999963e-05 × 6371000     		dr = 439.471579999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02224272--0.02214685) × cos(0.76775048) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.719474821996861 × 6371000     		do = 439.446422098616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02224272--0.02214685) × cos(0.76768150) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.719522728172908 × 6371000     		du = 439.475682605053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76775048)-sin(0.76768150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719474821996861-0.719522728172908)×R²
    abs(-0.02214685--0.02224272)×4.79061760469968e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.79061760469968e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.79061760469968e-05×40589641000000     		ar = 193130.643102049m²