Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32532 / 22502
↖ ↑ ↗
← N 49.016257°
W  1.296387°		 ← 400.62 m → N 49.016257°
W  1.290893°		 →
↑
400.61 m
↓
↑
400.61 m
↓
N 49.012654°
W  1.296387°		 ← 400.65 m →
160 499 m²		 N 49.012654°
W  1.290893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496406555175781 y=0.343360900878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496406555175781 × 216)
    floor (0.496406555175781 × 65536)
    floor (32532.5)     		tx = 32532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343360900878906 × 216)
    floor (0.343360900878906 × 65536)
    floor (22502.5)     		ty = 22502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32532 / 22502 ti = "16/32532/22502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32532/22502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32532 ÷ 216
    32532 ÷ 65536     		x = 0.49639892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22502 ÷ 216
    22502 ÷ 65536     		y = 0.343353271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49639892578125 × 2 - 1) × π
    -0.0072021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02262622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343353271484375 × 2 - 1) × π
    0.31329345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.984240422998993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02262622} λ = -0.02262622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.984240422998993))-π/2
    2×atan(2.67577865239652)-π/2
    2×1.21314569622866-π/2
    2.42629139245733-1.57079632675     		φ = 0.85549507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02262622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.296387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85549507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.016257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32532 KachelY 22502 -0.02262622 0.85549507 -1.296387 49.016257
    Oben rechts KachelX + 1 32533 KachelY 22502 -0.02253034 0.85549507 -1.290893 49.016257
    Unten links KachelX 32532 KachelY + 1 22503 -0.02262622 0.85543219 -1.296387 49.012654
    Unten rechts KachelX + 1 32533 KachelY + 1 22503 -0.02253034 0.85543219 -1.290893 49.012654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85549507-0.85543219) × R
    6.28799999999874e-05 × 6371000     		dl = 400.60847999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85549507-0.85543219) × R
    6.28799999999874e-05 × 6371000     		dr = 400.60847999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02262622--0.02253034) × cos(0.85549507) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.655844863912901 × 6371000     		do = 400.623805771592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02262622--0.02253034) × cos(0.85543219) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.655892330457773 × 6371000     		du = 400.652800780778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85549507)-sin(0.85543219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655844863912901-0.655892330457773)×R²
    abs(-0.02253034--0.02262622)×4.7466544872421e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.7466544872421e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.7466544872421e-05×40589641000000     		ar = 160499.101758352m²