Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32529 / 22501
↖ ↑ ↗
← N 49.019859°
W  1.312866°		 ← 400.59 m → N 49.019859°
W  1.307373°		 →
↑
400.54 m
↓
↑
400.54 m
↓
N 49.016257°
W  1.312866°		 ← 400.62 m →
160 462 m²		 N 49.016257°
W  1.307373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496360778808594 y=0.343345642089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496360778808594 × 216)
    floor (0.496360778808594 × 65536)
    floor (32529.5)     		tx = 32529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343345642089844 × 216)
    floor (0.343345642089844 × 65536)
    floor (22501.5)     		ty = 22501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32529 / 22501 ti = "16/32529/22501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32529/22501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32529 ÷ 216
    32529 ÷ 65536     		x = 0.496353149414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22501 ÷ 216
    22501 ÷ 65536     		y = 0.343338012695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496353149414062 × 2 - 1) × π
    -0.007293701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02291384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343338012695312 × 2 - 1) × π
    0.313323974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.984336296798233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02291384} λ = -0.02291384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.984336296798233))-π/2
    2×atan(2.67603520175983)-π/2
    2×1.21317713426053-π/2
    2.42635426852107-1.57079632675     		φ = 0.85555794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02291384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.312866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85555794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.019859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32529 KachelY 22501 -0.02291384 0.85555794 -1.312866 49.019859
    Oben rechts KachelX + 1 32530 KachelY 22501 -0.02281796 0.85555794 -1.307373 49.019859
    Unten links KachelX 32529 KachelY + 1 22502 -0.02291384 0.85549507 -1.312866 49.016257
    Unten rechts KachelX + 1 32530 KachelY + 1 22502 -0.02281796 0.85549507 -1.307373 49.016257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85555794-0.85549507) × R
    6.28699999999371e-05 × 6371000     		dl = 400.5447699996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85555794-0.85549507) × R
    6.28699999999371e-05 × 6371000     		dr = 400.5447699996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02291384--0.02281796) × cos(0.85555794) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.655797402324256 × 6371000     		do = 400.594813789926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02291384--0.02281796) × cos(0.85549507) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.655844863912901 × 6371000     		du = 400.623805771592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85555794)-sin(0.85549507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655797402324256-0.655844863912901)×R²
    abs(-0.02281796--0.02291384)×4.74615886444374e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.74615886444374e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.74615886444374e-05×40589641000000     		ar = 160461.963898377m²