Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32516 / 23836
↖ ↑ ↗
← N 43.977005°
W  1.384277°		 ← 439.58 m → N 43.977005°
W  1.378784°		 →
↑
439.60 m
↓
↑
439.60 m
↓
N 43.973051°
W  1.384277°		 ← 439.61 m →
193 245 m²		 N 43.973051°
W  1.378784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496162414550781 y=0.363716125488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496162414550781 × 216)
    floor (0.496162414550781 × 65536)
    floor (32516.5)     		tx = 32516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363716125488281 × 216)
    floor (0.363716125488281 × 65536)
    floor (23836.5)     		ty = 23836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32516 / 23836 ti = "16/32516/23836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32516/23836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32516 ÷ 216
    32516 ÷ 65536     		x = 0.49615478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23836 ÷ 216
    23836 ÷ 65536     		y = 0.36370849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.0076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02416020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36370849609375 × 2 - 1) × π
    0.2725830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.856344774812683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02416020} λ = -0.02416020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.856344774812683))-π/2
    2×atan(2.35453857670587)-π/2
    2×1.16916992676017-π/2
    2.33833985352035-1.57079632675     		φ = 0.76754353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02416020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.384277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76754353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.977005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32516 KachelY 23836 -0.02416020 0.76754353 -1.384277 43.977005
    Oben rechts KachelX + 1 32517 KachelY 23836 -0.02406432 0.76754353 -1.378784 43.977005
    Unten links KachelX 32516 KachelY + 1 23837 -0.02416020 0.76747453 -1.384277 43.973051
    Unten rechts KachelX + 1 32517 KachelY + 1 23837 -0.02406432 0.76747453 -1.378784 43.973051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76754353-0.76747453) × R
    6.89999999999857e-05 × 6371000     		dl = 439.598999999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76754353-0.76747453) × R
    6.89999999999857e-05 × 6371000     		dr = 439.598999999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02416020--0.02406432) × cos(0.76754353) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.719618537197484 × 6371000     		do = 439.580048482516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02416020--0.02406432) × cos(0.76747453) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.719666446987764 × 6371000     		du = 439.609314248815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76754353)-sin(0.76747453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719618537197484-0.719666446987764)×R²
    abs(-0.02406432--0.02416020)×4.79097902797987e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.79097902797987e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.79097902797987e-05×40589641000000     		ar = 193245.382410354m²