Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32514 / 23834
↖ ↑ ↗
← N 43.984910°
W  1.395264°		 ← 439.52 m → N 43.984910°
W  1.389770°		 →
↑
439.47 m
↓
↑
439.47 m
↓
N 43.980958°
W  1.395264°		 ← 439.55 m →
193 164 m²		 N 43.980958°
W  1.389770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496131896972656 y=0.363685607910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496131896972656 × 216)
    floor (0.496131896972656 × 65536)
    floor (32514.5)     		tx = 32514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363685607910156 × 216)
    floor (0.363685607910156 × 65536)
    floor (23834.5)     		ty = 23834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32514 / 23834 ti = "16/32514/23834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32514/23834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32514 ÷ 216
    32514 ÷ 65536     		x = 0.496124267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23834 ÷ 216
    23834 ÷ 65536     		y = 0.363677978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496124267578125 × 2 - 1) × π
    -0.00775146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02435195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363677978515625 × 2 - 1) × π
    0.27264404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.856536522411163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02435195} λ = -0.02435195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.856536522411163))-π/2
    2×atan(2.35499009711107)-π/2
    2×1.16923891473058-π/2
    2.33847782946116-1.57079632675     		φ = 0.76768150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02435195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.395264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76768150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.984910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32514 KachelY 23834 -0.02435195 0.76768150 -1.395264 43.984910
    Oben rechts KachelX + 1 32515 KachelY 23834 -0.02425607 0.76768150 -1.389770 43.984910
    Unten links KachelX 32514 KachelY + 1 23835 -0.02435195 0.76761252 -1.395264 43.980958
    Unten rechts KachelX + 1 32515 KachelY + 1 23835 -0.02425607 0.76761252 -1.389770 43.980958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76768150-0.76761252) × R
    6.89799999999963e-05 × 6371000     		dl = 439.471579999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76768150-0.76761252) × R
    6.89799999999963e-05 × 6371000     		dr = 439.471579999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02435195--0.02425607) × cos(0.76768150) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.719522728172908 × 6371000     		do = 439.521523398057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02435195--0.02425607) × cos(0.76761252) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.719570630925293 × 6371000     		du = 439.550784865247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76768150)-sin(0.76761252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719522728172908-0.719570630925293)×R²
    abs(-0.02425607--0.02435195)×4.79027523848652e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.79027523848652e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.79027523848652e-05×40589641000000     		ar = 193163.648199872m²