Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32514 / 23810
↖ ↑ ↗
← N 44.079693°
W  1.395264°		 ← 438.82 m → N 44.079693°
W  1.389770°		 →
↑
438.77 m
↓
↑
438.77 m
↓
N 44.075747°
W  1.395264°		 ← 438.85 m →
192 547 m²		 N 44.075747°
W  1.389770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496131896972656 y=0.363319396972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496131896972656 × 216)
    floor (0.496131896972656 × 65536)
    floor (32514.5)     		tx = 32514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363319396972656 × 216)
    floor (0.363319396972656 × 65536)
    floor (23810.5)     		ty = 23810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32514 / 23810 ti = "16/32514/23810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32514/23810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32514 ÷ 216
    32514 ÷ 65536     		x = 0.496124267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23810 ÷ 216
    23810 ÷ 65536     		y = 0.363311767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496124267578125 × 2 - 1) × π
    -0.00775146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02435195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363311767578125 × 2 - 1) × π
    0.27337646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.858837493592926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02435195} λ = -0.02435195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.858837493592926))-π/2
    2×atan(2.36041510045249)-π/2
    2×1.17006605384112-π/2
    2.34013210768225-1.57079632675     		φ = 0.76933578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02435195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.395264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76933578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.079693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32514 KachelY 23810 -0.02435195 0.76933578 -1.395264 44.079693
    Oben rechts KachelX + 1 32515 KachelY 23810 -0.02425607 0.76933578 -1.389770 44.079693
    Unten links KachelX 32514 KachelY + 1 23811 -0.02435195 0.76926691 -1.395264 44.075747
    Unten rechts KachelX + 1 32515 KachelY + 1 23811 -0.02425607 0.76926691 -1.389770 44.075747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76933578-0.76926691) × R
    6.88699999999987e-05 × 6371000     		dl = 438.770769999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76933578-0.76926691) × R
    6.88699999999987e-05 × 6371000     		dr = 438.770769999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02435195--0.02425607) × cos(0.76933578) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.718372898158289 × 6371000     		do = 438.819148031878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02435195--0.02425607) × cos(0.76926691) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.718420806437211 × 6371000     		du = 438.848412874962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76933578)-sin(0.76926691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718372898158289-0.718420806437211)×R²
    abs(-0.02425607--0.02435195)×4.79082789214269e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.79082789214269e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.79082789214269e-05×40589641000000     		ar = 192547.435827579m²