Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32512 / 23838
↖ ↑ ↗
← N 43.969098°
W  1.406250°		 ← 439.59 m → N 43.969098°
W  1.400757°		 →
↑
439.60 m
↓
↑
439.60 m
↓
N 43.965145°
W  1.406250°		 ← 439.62 m →
193 251 m²		 N 43.965145°
W  1.400757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496101379394531 y=0.363746643066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496101379394531 × 216)
    floor (0.496101379394531 × 65536)
    floor (32512.5)     		tx = 32512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363746643066406 × 216)
    floor (0.363746643066406 × 65536)
    floor (23838.5)     		ty = 23838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32512 / 23838 ti = "16/32512/23838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32512/23838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32512 ÷ 216
    32512 ÷ 65536     		x = 0.49609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23838 ÷ 216
    23838 ÷ 65536     		y = 0.363739013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49609375 × 2 - 1) × π
    -0.0078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02454369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363739013671875 × 2 - 1) × π
    0.27252197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.856153027214203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02454369} λ = -0.02454369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.856153027214203))-π/2
    2×atan(2.35408714287032)-π/2
    2×1.16910092960384-π/2
    2.33820185920768-1.57079632675     		φ = 0.76740553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02454369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76740553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.969098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32512 KachelY 23838 -0.02454369 0.76740553 -1.406250 43.969098
    Oben rechts KachelX + 1 32513 KachelY 23838 -0.02444782 0.76740553 -1.400757 43.969098
    Unten links KachelX 32512 KachelY + 1 23839 -0.02454369 0.76733653 -1.406250 43.965145
    Unten rechts KachelX + 1 32513 KachelY + 1 23839 -0.02444782 0.76733653 -1.400757 43.965145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76740553-0.76733653) × R
    6.89999999999857e-05 × 6371000     		dl = 439.598999999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76740553-0.76733653) × R
    6.89999999999857e-05 × 6371000     		dr = 439.598999999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02454369--0.02444782) × cos(0.76740553) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.719714353351712 × 6371000     		do = 439.59272492069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02454369--0.02444782) × cos(0.76733653) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.7197622562891 × 6371000     		du = 439.621983448994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76740553)-sin(0.76733653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719714353351712-0.7197622562891)×R²
    abs(-0.02444782--0.02454369)×4.79029373877671e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.79029373877671e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.79029373877671e-05×40589641000000     		ar = 193250.953369075m²