Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32512 / 22470
↖ ↑ ↗
← N 49.131408°
W  1.406250°		 ← 399.65 m → N 49.131408°
W  1.400757°		 →
↑
399.65 m
↓
↑
399.65 m
↓
N 49.127814°
W  1.406250°		 ← 399.68 m →
159 729 m²		 N 49.127814°
W  1.400757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496101379394531 y=0.342872619628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496101379394531 × 216)
    floor (0.496101379394531 × 65536)
    floor (32512.5)     		tx = 32512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342872619628906 × 216)
    floor (0.342872619628906 × 65536)
    floor (22470.5)     		ty = 22470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32512 / 22470 ti = "16/32512/22470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32512/22470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32512 ÷ 216
    32512 ÷ 65536     		x = 0.49609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22470 ÷ 216
    22470 ÷ 65536     		y = 0.342864990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49609375 × 2 - 1) × π
    -0.0078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02454369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342864990234375 × 2 - 1) × π
    0.31427001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.987308384574677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02454369} λ = -0.02454369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987308384574677))-π/2
    2×atan(2.68400044410874)-π/2
    2×1.21415058487138-π/2
    2.42830116974275-1.57079632675     		φ = 0.85750484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02454369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85750484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.131408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32512 KachelY 22470 -0.02454369 0.85750484 -1.406250 49.131408
    Oben rechts KachelX + 1 32513 KachelY 22470 -0.02444782 0.85750484 -1.400757 49.131408
    Unten links KachelX 32512 KachelY + 1 22471 -0.02454369 0.85744211 -1.406250 49.127814
    Unten rechts KachelX + 1 32513 KachelY + 1 22471 -0.02444782 0.85744211 -1.400757 49.127814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85750484-0.85744211) × R
    6.27300000000108e-05 × 6371000     		dl = 399.652830000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85750484-0.85744211) × R
    6.27300000000108e-05 × 6371000     		dr = 399.652830000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02454369--0.02444782) × cos(0.85750484) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.654326373671995 × 6371000     		do = 399.65454662731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02454369--0.02444782) × cos(0.85744211) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.654373809580233 × 6371000     		du = 399.683519899921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85750484)-sin(0.85744211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654326373671995-0.654373809580233)×R²
    abs(-0.02444782--0.02454369)×4.74359082375253e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.74359082375253e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.74359082375253e-05×40589641000000     		ar = 159728.860259699m²