Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32511 / 23803
↖ ↑ ↗
← N 44.107310°
W  1.411743°		 ← 438.61 m → N 44.107310°
W  1.406250°		 →
↑
438.58 m
↓
↑
438.58 m
↓
N 44.103366°
W  1.411743°		 ← 438.64 m →
192 374 m²		 N 44.103366°
W  1.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496086120605469 y=0.363212585449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496086120605469 × 216)
    floor (0.496086120605469 × 65536)
    floor (32511.5)     		tx = 32511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363212585449219 × 216)
    floor (0.363212585449219 × 65536)
    floor (23803.5)     		ty = 23803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32511 / 23803 ti = "16/32511/23803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32511/23803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32511 ÷ 216
    32511 ÷ 65536     		x = 0.496078491210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23803 ÷ 216
    23803 ÷ 65536     		y = 0.363204956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496078491210938 × 2 - 1) × π
    -0.007843017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02463957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363204956054688 × 2 - 1) × π
    0.273590087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.859508610187607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02463957} λ = -0.02463957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.859508610187607))-π/2
    2×atan(2.36199974587819)-π/2
    2×1.17030705355626-π/2
    2.34061410711253-1.57079632675     		φ = 0.76981778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02463957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.411743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76981778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.107310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32511 KachelY 23803 -0.02463957 0.76981778 -1.411743 44.107310
    Oben rechts KachelX + 1 32512 KachelY 23803 -0.02454369 0.76981778 -1.406250 44.107310
    Unten links KachelX 32511 KachelY + 1 23804 -0.02463957 0.76974894 -1.411743 44.103366
    Unten rechts KachelX + 1 32512 KachelY + 1 23804 -0.02454369 0.76974894 -1.406250 44.103366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76981778-0.76974894) × R
    6.88399999999589e-05 × 6371000     		dl = 438.579639999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76981778-0.76974894) × R
    6.88399999999589e-05 × 6371000     		dr = 438.579639999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02463957--0.02454369) × cos(0.76981778) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.718037507454625 × 6371000     		do = 438.614274124167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02463957--0.02454369) × cos(0.76974894) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.718085418696759 × 6371000     		du = 438.643540777333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76981778)-sin(0.76974894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718037507454625-0.718085418696759)×R²
    abs(-0.02454369--0.02463957)×4.79112421341021e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.79112421341021e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.79112421341021e-05×40589641000000     		ar = 192373.708399359m²