Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32510 / 23809
↖ ↑ ↗
← N 44.083639°
W  1.417236°		 ← 438.74 m → N 44.083639°
W  1.411743°		 →
↑
438.77 m
↓
↑
438.77 m
↓
N 44.079693°
W  1.417236°		 ← 438.77 m →
192 515 m²		 N 44.079693°
W  1.411743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496070861816406 y=0.363304138183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496070861816406 × 216)
    floor (0.496070861816406 × 65536)
    floor (32510.5)     		tx = 32510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363304138183594 × 216)
    floor (0.363304138183594 × 65536)
    floor (23809.5)     		ty = 23809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32510 / 23809 ti = "16/32510/23809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32510/23809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32510 ÷ 216
    32510 ÷ 65536     		x = 0.496063232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23809 ÷ 216
    23809 ÷ 65536     		y = 0.363296508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496063232421875 × 2 - 1) × π
    -0.00787353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02473544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363296508789062 × 2 - 1) × π
    0.273406982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.858933367392166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02473544} λ = -0.02473544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.858933367392166))-π/2
    2×atan(2.36064141326452)-π/2
    2×1.17010048926222-π/2
    2.34020097852444-1.57079632675     		φ = 0.76940465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02473544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.417236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76940465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.083639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32510 KachelY 23809 -0.02473544 0.76940465 -1.417236 44.083639
    Oben rechts KachelX + 1 32511 KachelY 23809 -0.02463957 0.76940465 -1.411743 44.083639
    Unten links KachelX 32510 KachelY + 1 23810 -0.02473544 0.76933578 -1.417236 44.079693
    Unten rechts KachelX + 1 32511 KachelY + 1 23810 -0.02463957 0.76933578 -1.411743 44.079693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76940465-0.76933578) × R
    6.88699999999987e-05 × 6371000     		dl = 438.770769999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76940465-0.76933578) × R
    6.88699999999987e-05 × 6371000     		dr = 438.770769999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02473544--0.02463957) × cos(0.76940465) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.71832498647207 × 6371000     		do = 438.744116622562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02473544--0.02463957) × cos(0.76933578) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.718372898158289 × 6371000     		du = 438.773380494545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76940465)-sin(0.76933578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71832498647207-0.718372898158289)×R²
    abs(-0.02463957--0.02473544)×4.79116862193152e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.79116862193152e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.79116862193152e-05×40589641000000     		ar = 192514.514025231m²